Комбинаторика. Формирование комбинаторных групп из N по К

Выборку по К элементов из множества А можно производить, руководствуясь правилами: считать разными выборки, в которых один и тот же элемент занимает разные позиции (либо не считать), допускать повторение одного и того же элемента в выбираемой группе (либо не допускать) и др. В зависимости от наложения определенных ограничений (правил) при выборе элементов разделяют три типа формирования комбинаторных групп. Рассмотрим их на примере:

Пусть N=4, K=2. Элементы исходного множества будем хранить в массиве А (рис.11.1):

Рис. 11.1.

Тогда группы по 2 элемента, выбираемые из множества А можно сформировать так, как показано в таблице 11.1:

Существует еще и третий способ формирования комбинаторных групп: "Перестановки". В перестановках участвуют все элементы исходного множества (K=N). Перестановки с повторениями возможны, когда в исходном множестве есть повторяющиеся элементы.

Типовые алгоритмы формирования групп:

Размещения с повторениями:

for i=1 to n
for j=1 to n
print A(i), A(j);
next j, i

for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
writeln (A[i], A[j]);

Размещения без повторений:

for i=1 to n
for j=1 to n
if i<>j then print A(i), A(j);
next j,i

for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if i<>j then writeln (A[i], A[j]);

Сочетания с повторениями:

...
for i=1 to n
for j=i to n
print A(i,j);
next j, i

...
for i:=1 to n do
for j:=i to n do
writeln (A[i], A[j]);

Сочетания без повторений:

...
for i=1 to n-1
for j=i+1 to n
print A(i), A(j);
next j, i

...
for i:=1 to n-1 do
for j:=i+1 to n do
writeln (A[i], A[j]); 

Задача "Кодовый замок сейфа"

Из 10 букв нужно набрать 3. Повторение букв допустимо. Подсчитать количество возможных комбинаций кодов.

Идея решения: Необходимо применить типовой алгоритм формирования групп РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ.

Программа на Бейсике

dim a$(10)
for i=1 to 10
  input "введите букву"; a$(i)
next
for х1=1 to 10
  for х2=1 to 10
    for х3=1 to 10
	  print  a$(х1); a$(х2); a$(х3);
	  k=k+1
next x3,x2,x1
print "k="; k

Программа на Паскале:

var a: array [1.10] of char;
  x1, x2, x3, k, i: integer;
begin
  for i:=1 to 10 do
    readln (a[i]);
  for х1:=1 to 10 do
    for х2:= 1 to 10 do
	  for х3:=1 to 10 do
	    begin
		writeln  (a[х1], a[х2], a[х3]);
		k:=k+1;
		end;
  writeln ('k:=', k);
end.

Тест:

Задача

В ассортименте кондитерской сегодня 10 видов пирожных. Каких три пирожных продавец может предложить покупателю?

Идея решения: Необходимо применить типовой алгоритм формирования групп СОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ.

Программа на Бейсике

dim a$ (10)
for i=1 to 10
  input "введите название пирожного"; a$ (i)
next
for х1=1 to 10
  for х2=1 to 10
    for х3=1 to 10
	 print  a$(х1); a$(х2); a$(х3)
next x3,x2,x1

Программа на Паскале:

var a: array [1.10] of string;
  x1, x2, x3, i: integer;
begin
  for i:=1 to 10 do
    begin
	writeln ('введите название пирожного');
	readln (a[i]);
	end;
  for х1:=1 to 10 do
	for х2:= 1 to 10 do
	  for х3:=1 to 10 do
	   	writeln  (a[х1], a[х2], a[х3]);
end.