Типовые алгоритмы и задачи, решаемые с их помощью

Типовые алгоритмы обработки одномерных массивов

В данной теме будут рассматриваться такие типовые алгоритмы обработки одномерных массивов:

• Заполнение, вывод элементов массива
• Сумма, произведение элементов
• Выбор по условию
• Максимальный (минимальный) элемент
• Вставка, удаление элементов
• Инвертирование (изменения порядка следования элементов заданного массива на обратный)

Программные реализации типовых алгоритмов обработки одномерных массивов приведены в таблице 2.1:

input n
dim a(n)
for i=1 to n
input a(i)
next i

const n=10;
Var a: array [1..n] of integer;
begin
for i:=1 to n do readln (a[i]);
…

…for i=1 to n
print a(i) ; "  " ;
next i

…
for i:=1 to n do write (a[i]);
…

…
p=1
for i=1 to n
s=s + a(i)
p=p * a(i)
next i

…
s:=0; p:=1;
for i:=1 to n do 
begin
s:=s+a[i]); p:=p*a[i]);
end; 
…

…
p = 1
for i = 1 to n
if {условие} then k=k+1:s=s+a(i):p=p*a(i)
next i

…
k:=0; s:=0; p:=1;
for i:=1 to n do 
if {условие} then  
begin
k:=k+1; s:=s+a[i]; p:=p*a[i];
end;
…

…
max = a(1): min = a(1)
for i = 2 to n
if a(i) > max then max = a(i)
if a(i) < min  then min = a(i)
next i

…
max:=a[1]; min:=a[1];
for i:=1 to n do 
begin
if a[i] > max then max:=a[i];
if a[i] < min then min:=a[i];
end;

dim a(n + 1)
…
for i = n to k step -1
a (i + 1) = a(i)
next
a(k) = x

Var a: array [1..n+1] of…
…
for i:=n downto k do 
a[i+1]:=a[i];
a[k]:=x;
…

. . . 
for i = k to n - 1
a(i) = a(i + 1) 
next

…
for i:=k to (n-1) do a[i]:= a[i+1];
…

. . . 
for i = 1 to n/2
swap a(i), a(n-i+1) 
next

…
for i:=1 to (n div 2) do 
begin
х:=a[i];
a[i]:= a[n-i+1];
a[n-i+1] :=х;
end
…

Ключевые моменты в типовых алгоритмах:

• Выбор по условию. В качестве условия может проверяться значение элемента массива на четность, кратность элемента какому-либо числу, положительность, отрицательность, равенство нулю. Может проверяться также и значение индекса элемента массива (например, элементы, стоящие на четных местах и др.).

• Максимальный (минимальный) элемент. Кроме максимального элемента часто требуется найти и индекс максимального элемента:

  if a[i]>max then begin
  max:=a[i]; imax:=i;
  end;
• Вставка x на k-ое место. Перестановка элементов (для освобождения "места" для вставляемого элемента) происходит с конца массива - последний элемент передвигается на "пустое место", на его место передвигается предпоследний элемент и т.д.
• Инвертирование элементов. Цикл работает n/2 раз, так как за один проход мы меняем сразу два элемента местами.

Задачи использованием типовых алгоритмов обработки одномерных массивов

Задача: На плоскости изображено N прямоугольников (рис. 2.1). Каждый прямоугольник задан координатами левой нижней и правой верхней вершин. Определить, имеют ли прямоугольники общую площадь .

Рис. 2.1.

Идея решения:

Если:

• максимальная координата по оси Х левых нижних вершин прямоугольников будет меньше минимальной координаты правых верхних вершин и …
• …максимальная координата по оси У левых нижних вершин прямоугольников будет меньше минимальной координаты правых верхних вершин, то …
• …общая площадь есть.

В задаче необходимо использовать типовой алгоритм нахождения МАКСИМАЛЬНОГО (МИНИМАЛЬНОГО) ЭЛЕМЕНТА МАССИВА.

Для вычисления общей площади необходимо найти произведение разности:

• максимальной координаты по оси Х левых нижних вершин прямоугольников и минимальной координаты правых верхних вершин и …
• …максимальной координаты по оси У левых нижних вершин прямоугольников и минимальной координаты правых верхних вершин.

Программа на Бейсике:

input "введите количество прямоугольников"; n
dim x1(n), x2(n),y1(n), y2(n)
for i=1 to n
    input x1(i), x2(i), y1(i), y2(i)
next
xmax=x1(1)
xmin=x2(1)
ymax=y1(1)
ymin=y2(2)
for i=1 to n
    if x1(i) > xmax then xmax=x1(i)
    if x2(i) < xmin then xmin=x2(i)
    if y1(i) > ymax then ymax=y1(i)
    if y2(i) < ymin then ymin=y2(i)
next
if xmax<xmin and ymax<ymin then print "общ. площадь есть" else print "общ. площади нет"

Программа на Паскале:

var     x1, x2, y1, y2: array [1..10] of integer;
    n, i, xmax, xmin, ymax, ymin: integer;
begin
    writeln ('введите количество прямоугольников');
    readln (n);
    for i:=1 to n do
        readln (x1[i], y1[i], x2[i], y2[i]);
    xmax:=x1[1];
    xmin:=x2[1];
    ymax:=y1[1];
    ymin:=y2[2];
    for i:=1 to n do
        begin
        if x1[i] > xmax then xmax:=x1[i];
        if x2[i] < xmin then xmin:=x2[i];
        if y1[i] > ymax then ymax:=y1[i];
        if y2[i] < ymin then ymin:=y2[i];
        end;
    if (xmax<xmin) and (ymax<ymin) then writeln ('общая площадь есть')
    else writeln ('общей площади нет');
end.

Тест:

Задача: Латинским квадратом называется массив, в строках и столбцах которого нет одинаковых элементов. Вывести на экран латинский квадрат размером NxN.

Идея решения: Заполнить 1 строку квадратного массива (NxN) числами от 1 до N. Вторая строка массива получается путем циклического сдвига элементов первой строки и т. д. (табл. 2.2). Циклический сдвиг можно реализовать, используя типовой алгоритм ВСТАВКИ-УДАЛЕНИЯ (в зависимости от направления циклического сдвига).

Решение на Бейсике:

input "размерность="; n
dim a(n,n)
for j=1 to n
    a(1,j)=j
next
rem=====сдвиг=========
for i=2 to n
    for j=1 to n
        a(i,j)=a(i-1,j)
    next
    x=a(i,n)
    for j=n to 2 step -1
        a(i,j)=a(i,j-1)
    next
    a(i,1)=x
next
rem====вывод==========
for i=1 to n
    for j=1 to n
       print  a(i,j);
    next
    print
next

Решение на Паскале:

var a: array [1..10,1..10] of integer;
    n,i,j,x: integer;
begin
    writeln ('размерность=');
    readln (n);
    for j:=1 to n do a[1,j]:=j;
    {======сдвиг======}
    for i:=2 to n do
        begin
        for j:=1 to n do a[i,j]:=a[i-1,j];
        x:=a[i,n];
        for j:=n downto 2 do 
            a[i,j]:=a[i,j-1];
        a[i,1]:=x;
        end;
    {======вывод======}
    for i:=1 to n do
        begin
        for j:=1 to n do write(a[i,j]);
        writeln;
        end;
end.