Задачи, сгруппированные по методам решения. Использование дополнительного массива "флажков" (три задачи - один алгоритм)

Рассмотрим несколько практических задач.

Задача 1: В строке, содержащей арифметическое выражение проверить, правильно ли расставлены скобки. В случае лишних скобок - не считать неправильным расстановку скобок (например: ((а+в)) -скобки расставлены верно).

Идея решения:

1. Допустим, дано арифметическое выражение: (а + в ((4а - 8) в + 3) - 15в)

2. Резервируем два массива: А$ и Flag. "Разбираем" строку, в которой хранится арифметическое выражение (применив типовой алгоритм "РАЗБОРА" СТРОКИ НА СИМВОЛЫ), помещая каждый символ в элемент массива А$.

   Массив Flag заполняем флажками:

   • "1" - если элемент массива А$ - открывающаяся скобка;
   • "-1" - если элемент массива А$ - закрывающаяся скобка (рис. 7.1).
     

     
     Рис. 7.1.

3. Суммируем элементы массива Flag. Если в процессе перебора элементов сумма станет отрицательной, значит скобки расставлены неверно. Итоговая сумма должна быть равна 0.

   Решение задачи на Бейсике:

   input "введите ар. выражение"; stroka$
   n=len(stroka$)
   dim a$ (n), flag (n)
   rem-
   for i=1 to n
    a$(i)=mid$(stroka$, i, 1)
   next
   rem=======================
   for i=1 to n
    if a$(i)='(' then flag (i)=1
    if a$(i)=')' then flag (i)=-1
   next
   rem=======================
   for i=1 to n
    s=s+flag (i)
    if s<0 then x=1
   next
   if s=0 and x=0 then ?"скобки расставлены верно" else ?"скобки расставлены неверно"
   

   Решение задачи на Паскале:

   const 	m=10;
   var flag: array [1..m] of integer;
    a: array [1..m] of string[1];
    stroka: string;
    i,s,n,x: integer;
   begin
    writeln ('введите ар. выражение'); readln (stroka);
    n:=length (stroka);
    for i:=1 to n do
     begin
     a[i]:=copy(stroka, i, 1);
     flag[i]:=0;
     end;
    for i:=1 to n do
     begin
     if a[i]="(" then flag [i]:=1;
     if a[i]=")" then flag [i]:=-1;
     end;
    s:=0;
    for i:=1 to n do
     begin
     s:=s+flag [i];
     if s<0 then x:=1;
     end;
    if (s=0) and (x=0) then writeln ('скобки расставлены верно')
    else  writeln ('скобки расставлены неверно');
   end.
   

   Тест:

   Дано:	(4*5+1)*((2/6-2*3)+4))	(6+56))-90*(5-2*(3-7/3)
   Результат:	скобки расставлены верно	скобки расставлены неверно

Задача 2: В картинной галерее работают сторожа. Для каждого сторожа известно время прихода на работу и время ухода. Определить, всегда ли галерея охраняется.

Идея решения:Пример (табл. 7.1):

1. Заполняем массивы:

   А: временем прихода и ухода сторожей;

   Flag:

   • "1" - если соответствующий элемент массива А - время прихода сторожа;
   • "-1" - если элемент массива А - время ухода сторожа;
   

   
   Рис. 7.2.

2. СОРТИРУЕМ массив А, одновременно переставляя элементы массива flag:

   

   
   Рис. 7.3.

3. Суммируем элементы второго массива. Если текущая сумма обнулилась (но конец массива не достигнут), то, значит, галерея осталась без охраны (в 19.30 сторож ушел, а смена еще не пришла).

   

   
   Рис. 7.4.

   Решение на Бейсике:

   input "количество сторожей="; n
   dim a(2*n), flag(2*n)
   for i=1 to n*2 step 2
    input "время прихода="; a(i)
    flag (i) = 1
    input "время ухода="; a(i + 1)
    flag (i + 1) = -1
   next
   rem==сортировка=======================================
   for j = 2*n to 2 step -1
    for i = 1 to j - 1
     if a(i) > a(i + 1) then swap a(i), a(i + 1): swap flag(i), flag(i + 1)
   next i, j
   rem================================================
   k = 0
   for i = 1 to 2*n
    s = s + flag(i)
    if s = 0 then k = k + 1
   next
   if k = 1 then print "охранялась всегда" else print "не охранялась "; k - 1; " раз"
   

   Решение задачи на Паскале:

   const m=20;
   var a, flag: array [1..m] of integer;
    i,s,k,n,x: integer;
   begin
    writeln ('количество сторожей');
    readln (n);
    j:=1;
    for i:=1 to n do
     begin
     writeln ('время прихода, ухода');
     readln (a[j], a[j+1]);
     flag [j]:=1;
     flag [j+1]:=-1;
     j:=j+2;
     end;
    for j:=2*n downto 2 do
     for i:=1 to j-1 do
      if a[i]>a[i+1] then 
   	begin
   	x:=a[i];
   	a[i]:=a[i+1];
   	a[i+1]:=x;
   	x:=flag[i];
   	flag [i]:=flag [i+1];
   	flag [i+1]:=x;
   	end;
    k:=0;
    s:=0;
    for i:=1 to 2*n do
     begin
     s:=s+flag [i];
     if s=0 then k:=k+1;
     end;
    if k=1 then writeln ('галерея всегда охранялась')
     	else writeln ('галерея оставалась без охраны',k-1,'раз');
   end.

   Тест:

   Дано:	n=3 8 10 9 12 11 13	n=3 8 10 9 12 13 14
   Результат:	охранялась	не охранялась 1 раз

Задача 3: N отрезков на координатной прямой заданы координатами своих концов. Определить количество связных областей.

Идея решения:

1. Заполняем массивы:

   А: координатами начала и конца отрезков;

   Flag:

   • "1" - если соответствующий элемент массива А - координата начала отрезка;
   • "-1" - если элемент массива А - координата конца отрезка;
2. СОРТИРУЕМ массив А, одновременно переставляя элементы массива Flag.

3. Суммируем элементы массива Flag. Если текущая сумма обнулилась (но конец массива не достигнут), то, значит, получена одна связная область. Количество обнулений и будет количеством связных областей.

   Решение на Бейсике:

   input "введите количество отрезков", n
   dim a (2*n), flag (2*n)
   for i=1 to n*2 step 2
    input "первая координата", a(i)
    flag (i)=1
    input "вторая координата", a(i+1)
    flag (i+1)=-1
   next
   for j=2*n to 2 step -1
    for i= 1 to j-1
     if a(i)>a(i+1) then swap a(i), a(i+1): swap flag(i), flag(i+1)
   next i, j
   for i=1 to 2*n
    s=s+flag (i)
    if s=0 then k=k+1
   next
   print "количество связных областей ="; k
   

   Решение задачи на Паскале:

   const m=20;
   var a, flag: array [1..m] of integer;
    i,j,s,n,k,x: integer;
   begin
    writeln ('количество отрезков'); readln (n);
    j:=1;
    for i:=1 to n do
     begin
     writeln ('введите координаты начала и конца отрезка');
     readln (a[j], a[j+1]);
     flag [j]:=1;
     flag [j+1]:=-1;
     j:=j+2;
     end;
    for j:=2*n downto 2 do
     for i:=1  to j-1 do
      if a[i]>a[i+1] then 
   	begin
   	 x:=a[i];
   	 a[i]:=a[i+1];
   	 a[i+1]:=x;
   	 x:=flag[i];
   	 flag [i]:= flag [i+1];
   	 flag [i+1]:=x;
   	 end;
    s:=0;
    k:=0;
    for i:=1 to 2*n do
     begin
     s:=s+flag [i];
     if s=0 then k:=k+1;
     end;
    writeln ('количество связных областей=', k);
   end.
   

Тест:

n=3
1
5
4
9
11
15

n=3
1
3
4
9
11
15

Ключевые термины

• Связная область - область, соответствующая объединению отрезков.

Краткие итоги

При решении задач, в условиях которых озвучено наступление и окончание какого-то события (открытие-закрытие скобок, приход-уход сторожа, начало-конец отрезка) используется дополнительный массив "флажков". При наступлении события "флажок" принимает значение "1", при окончании - "-1".

При решении некоторых задач (например, на нахождение "связных" областей из отрезков на координатной прямой) потребуется использовать типовой алгоритм сортировки одномерного массива.

Набор для практики

Вопросы.

• Каким образом можно отметить элементы в наборе разнообразных данных, соответствующие разным событиям?
• При необходимости сортировки данных - каким образом учитывается событие, связанное с этим данным?
• Сколько связных областей дадут два отрезка, имеющие одну общую координату (начало одного совпадает с концом другого)?
• Какое количество случаев неохраняемости галереи выдаст программа, если время ухода одного из сторожей совпадает с временем прихода его сменщика?

Упражнения.

• В четырех различных кинотеатрах идут сеансы интересных фильмов. Некий зритель захотел побывать на всех четырех сеансах. Помогите установить - сможет ли зритель попасть на все 4 фильма, если известно время начала и конца каждого фильма, при этом временем "перехода" из кинотеатра в кинотеатр можно пренебречь.
• В строке символов находится программа на языке Паскаль (записанная в одну строку). Выяснить - нет ли ошибок в расстановке ключевых слов Begin и End в программе?