Комбинаторика. Формирование комбинаторных групп из N по К (К - от 1 до N)

Пусть N=4. Необходимо сформировать различные группы элементов выбираемых из исходного множества. Количество элементов в выборке от 1 до N. Элементы исходного множества будем хранить в массиве А (рис. 12.1):

Рис. 12.1.

Составим таблицу, в которой выбранный элемент отметим "1", невыбранный - "0":

Итого, сформированы группы: {3}, {2}, {2, 3}, {1}, {1,3}, {1, 2}, {1, 2, 3}.

Для формирования групп потребовалось перебрать все варианты комбинаций "0" и "1". Такой метод формирования комбинаторных групп называется "Двоичным перебором", а количество групп будет равно 2ⁿ-1.

Идея решения: для выбора элементов из исходного множества необходимо получить двоичный код (на единицу больше предыдущего). Первый вариант получения нового двоичного кода - перевод счетчика цикла i из десятичной в двоичную систему счисления. Второй вариант получения очередного двоичного кода - ищем в массиве двоичных кодов d последний нулевой элемент , заменяем его на единицу и обнуляем все следующие за ним элементы (этот метод называется лексикогрофическим порядком).

Количество возможных комбинаций двоичных кодов 2^n-1 (исключаем двоичный код, состоящий из одних нулей).

Программная реализация на Бейсике:

input "введите количество элементов исх. множества="; n
for i=1 to n
  input "введите элемент"; a(i)
next
for i=1 to 2^n-1
  rem=поиск первого нулевого элемента=========
  for j=1 to n
    if d(j)=0 then x=j
  next
  rem=формирование двоичного кода===========
  for z=x to n
    d(z)=0
  next z
  d(x)=1
  rem=печать элементов====================
  for j=1 to n
    if d(j) <> 0 then print a(j);
  next j
  print
next i

Программная реализация на Паскале:

const nn=10;
var a,d: array [1..nn] of integer;
  i,n,x,j,z,st: integer;
begin
  writeln ('количество элементов');
  readln (n);
  for i:= 1 to n do 
    begin
	writeln ('введите элемент');
	readln (a[i]);
	end;
  {=формирование двоичного кода===}
  st:=1;
  for i:=1 to n do 
    st:=st*2;
  for i:= 1 to (st-1) do
	begin
	for j:= 1 to n do
	  if d[j]= 0 then x:= j;
	for z:= x to n do 
	  d[z]:=0;
	d[x]:=1;
	{=печать элементов========}
	for j:= 1 to n do
	  if d[j]<>0 then write (a[j]);
	writeln;
	end;
end.

Тест:

N=3
{1,2,3}

Если предположить, что каждый элемент из исходного набора может повторяться во вновь созданной комбинаторной группе от 0 до n раз, то необходимо организовать n-ричный перебор.

Задачи:

• "Размен монет": дана купюра достоинством X. Требуется разменять ее монетами по 1, 5, 10, 50 рублей.
• Даны гири массами M1, M2, M3, M4. Как можно взвесить предмет массой X?
• Даны N чисел. Выделите из них группы, содержащие от 1 до N элементов, каждая из которых имеет сумму X.

Программная реализация на Бейсике:

input "x="; x
input "количество элементов в исходном множестве"; n
for i = 1 to n
  input "введите элемент"; a(i)
next
for i = 1 to (2^n - 1)
  rem==получение следующего двоичного кода==
  for j = 1 to n
    if d(j) = 0 then k = j
  next j
  for z = k to n
    d(z) = 0
  next z
  d(k) = 1
  rem=============================
  s = 0
  for j = 1 to n
    if d(j) <> 0 then s = s + a(j)
  next j
  rem========вывод результата==========
  if s = x then
    for ii = 1 to n
	  if d(ii) <> 0 then print "  "; a(ii);
	next ii
  end if
  print
next i

Программная реализация на Паскале:

const nn=10;
var a,d: array [1..nn] of integer;
  ii,i,n,x,j,z,st,k: integer;
begin
  writeln ('введите с чем сравнивать);
  readln (х);
  writeln ('введите количество элементов');
  readln (n);
  for i:= 1 to n do 
    begin
	writeln ('введите элемент');
	readln (a[i]);
	end;
  {=вычисление количества возможных комбинаций=}
  st:=1;
  for i:=1 to n do 
    st:=st*2;
  {=================================}
  for i:= 1 to (st-1) do
    begin
	{=получение следующего двоичного кода===}
	for j:= 1 to n do
	  if d[j]= 0 then k:= j;
	for z:= k to n do 
	  d[z]:=0;
	d[k]:=1;
	{=============================}
	s: = 0;
	for j: = 1 to n do
	  if d[j] <> 0 then s:= s + a[j];
	if s = x then
	  {=====вывод результата=========}
	  for ii:= 1 to n do
	    if d[ii] <> 0 then write (a[ii]);
	writeln;
	end;
end.

Тест:

x=5
n=3
1,2,3

Ключевые термины

• Двоичный перебор - метод формирования комбинаторных групп из исходного множества элементов, на которые "указывают" единицы в соответствующем разряде двоичного кода.
• Лексикографический порядок - метод получения очередного двоичного кода.

Краткие итоги

Создание комбинаторных групп двоичным перебором основывается на использовании натурального ряда двоичных чисел.

Двоичный код (поразрядно) хранится в дополнительном массиве, имеющем такую же размерность, что и массив с исходным множеством элементов. В массиве двоичных кодов на каждом шаге получаем новый двоичный код, единицы которого "указывают" на соответствующие разряды массива исходного множества.

Получение очередного двоичного кода в лексиграфическом порядке предполагает такой алгоритм: массив с двоичным кодом обходится справа налево, ищется первый ноль, он заменяется на единицу, а все элементы, стоящие левее - обнуляются.

Набор для практики

Вопросы.

• В чем заключается метод двоичного перебора при формировании комбинаторных групп?
• Укажите количество разнообразных n-разрядных двоичных кодов.
• Каким образом можно получить следующее за текущим двоичное число (алгоритм получения)?
• Что изменится в алгоритме формирования комбинаторных групп, если состояние исходных объектов можно охарактеризовать не только как "выбран"/"не выбран": выбранный объект также градируется ("выбран в соответствии с условием 1"/" выбран в соответствии с условием 2")?

Упражнения.

• Ввести с клавиатуры целое число n. Вывести натуральный ряд двоичных чисел до числа, десятичное представление которого не превосходит n.
• Тур-фирма предлагает разнообразные путевки, хранящиеся в базе данных в виде названий туров и их стоимостей (всего n туров). Сделать выборку из базы данных тех туров, которые подходят покупателю по цене (покупатель рассчитывает приобрести не более трех путевок не менее, чем на m рублей).