НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 12: Сходимость последовательностей случайных величин

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Новосибирский Государственный Университет

Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7243 / 1307 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: алгебра, вычисления, графика, дискретное распределение, замечательный предел, коэффициент асимметрии, несовместное событие, полная группа, распределение бернулли, распределение коши, распределение пуассона, формула полной вероятности, функция Эйлера, цвета, элементы

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Сходимость "почти наверное". Сходимость по вероятности. Свойства этих сходимостей. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва. Обобщенное неравенство Чебышёва. Законы больших чисел

Ключевые слова: случайная величина, функция, множества, определение, сходимость, вероятность, ПО, произвольное, равенство, место, отрезок, предел, доказательство, неравенство, Распределение Бернулли, значение, дисперсия, закон больших чисел

Сходимости "почти наверное" и "по вероятности"

Напомним, что случайная величина есть (измеримая) функция из некоторого непустого множества $\Omega$ в множество действительных чисел. Последовательность случайных величин $\{\xi_n\}_{n=1}^\infty$ есть тем самым последовательность функций, определенных на одном и том же множестве $\Omega$ . Существуют разные виды сходимости последовательности функций. Давать определение любой сходимости мы будем, опираясь на сходимость числовых последовательностей, как на уже известное основное понятие.

В частности, при каждом новом $\omega\in\Omega$ мы имеем новую числовую последовательность $\xi_1(\omega),\,\xi_2(\omega),\,\xi_3(\omega),\,\dots$ Поэтому можно говорить о сходимости последовательности значений функций в данной точке $\omega$ , а также во всех остальных точках $\omega\in\Omega$ . В теории вероятностей можно не обращать внимание на неприятности, происходящие с нулевой вероятностью. Поэтому вместо сходимости "всюду" принято рассматривать сходимость "почти всюду", или "почти наверное".

Определение 42. Говорят, что последовательность $\{\xi_n\}$ сходится почти наверное к случайной величине $\xi$ при $n\to\infty$ , и пишут: ${\xi_n\to\xi}$ п.н., если $\Prob\left\{\omega | \xi_n(\omega)\to\xi(\omega) \text{ при } n\to\infty\right\}=1$ . Иначе говоря, если $\xi_n(\omega)\to\xi(\omega)$ при $n\to\infty$ для всех $\omega\in\Omega$ , кроме, возможно, $\omega\in A$ , где - событие, имеющее нулевую вероятность.

Заметим сразу: определение сходимости "почти наверное" требует знания того, как устроены отображения $\omega\mapsto\xi_n(\omega)$ . В задачах же теории вероятностей, как правило, известны не сами случайные величины, а лишь их распределения.

Можем ли мы, обладая только информацией о распределениях, говорить о какой-либо сходимости последовательности случайных величин $\{\xi_n\}$ к случайной величине $\xi$ ?

Можно, скажем, потребовать, чтобы вероятность тех элементарных исходов $\omega$ , для которых $\xi_n(\omega)$ не попадает в " ${\varepsilon}$ -окрестность" числа $\xi(\omega)$ , уменьшалась до нуля с ростом . Такая сходимость в функциональном анализе называется сходимостью "по мере", а в теории вероятностей - сходимостью "по вероятности".

Определение 42. Говорят, что последовательность случайных величин $\{\xi_n\}$ сходится по вероятности к случайной величине $\xi$ при $n\to\infty$ , и пишут $\xi_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi$ , если для любого ${\varepsilon}>0$

$\Prob\left(|\xi_n-\xi|\ge{\varepsilon}\right)\to 0\, \text{ при } n\to\infty \; \text{ (или } \Prob\left(|\xi_n-\xi|<{\varepsilon}\right)\to 1\, \text{ при } n\to\infty\text{)}.$

Пример 70. Рассмотрим последовательность $\xi_1,\,\xi_2,\,\dots$ , в которой все величины имеют разные распределения: величина $\xi_n$ принимает значения и n^7 с вероятностями $\Prob\bigl(\xi_n=n^7\bigr)=1/n=1-\Prob(\xi_n=0)$ . Докажем, что эта последовательность сходится по вероятности к нулю.

Зафиксируем произвольное ${\varepsilon}>0$ . Для всех начиная с некоторого n_0 такого, что ${n\mathstrut}_0^7>{\varepsilon}$ , верно равенство $\Prob(\xi_n\ge{\varepsilon})=\Prob({\xi_n=n^7})=1\mspace{1mu}/\,n$ . Поэтому

$\Prob\bigl(|\xi_n-0|\ge{\varepsilon}\bigr) = \Prob\bigl(\xi_n\ge{\varepsilon}\bigr) = \Prob\bigl(\xi_n=n^7\bigr) = \frac1n \to 0 \text{ при } n\to\infty.$

Итак, случайные величины $\xi_n$ с ростом

могут принимать все большие и большие значения, но со все меньшей и меньшей вероятностью.

Например, последовательность $\{\xi_n\}$ можно задать на вероятностном пространстве $\langle\Omega,\,\mathcal F,\,\Prob\rangle= \langle [0,\,1],\,\mathfrak{B}([0,\,1]),\,\lambda\rangle$ так: положим $\xi_n(\omega)=0$ для $\omega\in[0,\,1-1\mspace{1mu}/\,n]$ и $\xi_n(\omega)=n^7$ для $\omega\in(1-1\mspace{1mu}/\,n,\,1]$ .

Заметим, что сходимость по вероятности имеет место совершенно независимо от того, как именно заданы случайные величины на $\Omega$ , поскольку определяется лишь их распределениями.

Замечание Иное дело - сходимость "почти наверное". Если, скажем, задать случайные величины как указано выше, то сходимость "почти наверное" будет иметь место. Действительно, для всякого $\omega\in[0,\,1)$ найдется такое n_0 , что $\omega \in [0, 1-1/n_0]$ , и поэтому для всех $n \ge n_0$ все $\xi_n(\omega)$ равны нулю.

Можно попробовать задать случайные величины $\xi_n$ на отрезке $[0,\,1]$ как-нибудь иначе, чтобы не было сходимости почти наверное. Для этого нужно заставить отрезок длины $1\,/\,n$ , на котором $\xi_n(\omega)=n^7$ , "бегать" по отрезку $[0,\,1]$ , чтобы любая точка $\omega\in[0,\,1]$ попадала внутрь этого отрезка бесконечное число раз, и, тем самым, для любого $\omega$ существовала подпоследовательность $\xi_{n_k}(\omega)\to\infty$ .

Сходимость по вероятности не обязательно сопровождается сходимостью математических ожиданий или моментов других порядков: из $\xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} \xi$ не следует, что ${\mathsf E\,}\xi_n\to{\mathsf E\,} \xi$ . Действительно, в примере 70 имеет место сходимость $\xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} \xi=0$ , но ${\mathsf E\,}\xi_n=n^6\not\to{\mathsf E\,} \xi=0$ . При этом вообще последовательность ${\mathsf E\,}\xi_n$ неограниченно возрастает.

А если вместо значения n^7 взять (с той же вероятностью $1\mspace{1mu}/\,n$ ), то получим ${\mathsf E\,}\xi_n=1\not\to {\mathsf E\,}\xi=0$ . Но теперь хотя бы предел у последовательности математических ожиданий конечен.

Если же $\xi_n$ принимает значения и $\sqrt{n}$ с вероятностями из примера 70, то ${\mathsf E\,}\xi_n=1/\sqrt{n} \to {\mathsf E\,}\xi=0$ , но уже вторые моменты сходиться ко второму моменту $\xi$ не будут: ${\mathsf E\,}\xi_n^2=1 \not\to {\mathsf E\,}\xi^2=0$ .

Однако сходимость математических ожиданий и других моментов сходящихся последовательностей бывает чрезвычайно важна в различных задачах статистики. Существуют условия, при выполнении которых сходимость по вероятности $\xi_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi$ влечет сходимость математических ожиданий ${\mathsf E\,}\xi_n\to{\mathsf E\,}\xi$ .

Сформулируем без доказательства следующее утверждение.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Лекция 12: Сходимость последовательностей случайных величин

Сходимости "почти наверное" и "по вероятности"

Вопросы и ответы