Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7157 / 1242 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 5:

Схема Бернулли

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >
Аннотация: Схема Бернулли. Формула Бернулли для распределения числа успехов. Распределение номера первого успешного испытания. Полиномиальное распределение в схеме независимых испытаний с несколькими исходами. Предельная теорема Пуассона для схемы Бернулли

Распределение числа успехов в n испытаниях

Определение 16. Схемой Бернулли называется последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода - "успех" и "неудача", при этом успех в одном испытании происходит с вероятностью p\in (0,\,1), а неудача - с вероятностью q=1-p.

Под независимостью в совокупности испытаний понимается независимость в совокупности любых событий, относящихся к разным испытаниям. В испытаниях схемы Бернулли, когда с одним испытанием можно связать только два взаимоисключающих события, независимость в совокупности испытаний означает, что при любом n независимы в совокупности события A_1=\{ успех в первом испытании \},\, \dots,\,
A_{n}=\{ успех в n -м испытании \}. Эти события принадлежат одному и тому же пространству элементарных исходов, полученному декартовым произведением бесконечного числа двухэлементных множеств \{\textit{у,\,н\/}\}:

\Omega=\{(a_1,\,a_2,\,\ldots\,) {\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} 
a_i\in\{\textit{у,\,н\/}\}\}.
Здесь буквами "у" и "н" обозначены успешный и неудачный результаты испытаний соответственно.

Обозначим через \nu_n число успехов, случившихся в n испытаниях схемы Бернулли. Эта величина может принимать целые значения от нуля до n в зависимости от результата n испытаний. Например, если все n испытаний завершились неудачей, то величина \nu_n равна нулю.

Теорема 13 (формула Бернулли). При любом k=0,\,1,\,\ldots,\,n имеет место равенство:

\Prob(\nu_n=k)=C^k_n p^k q^{n-k}.

Доказательство. Событие A=\{\nu_n=k\} означает, что в n испытаниях схемы Бернулли произошло ровно k успехов. Рассмотрим один из благоприятствующих событию A элементарных исходов:

(\underbrace{\textit{у,\, у,\, \ldots,\, у}}_k ,\,
\underbrace{\textit{н,\,н,\, \ldots,\, н}}_{n-k}),
когда первые k испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна p^k q^{n-k}. Другие благоприятствующие событию A элементарные исходы отличаются лишь расположением k успехов на n местах. Есть ровно C_n^k способов расположить k успехов на n местах. Поэтому событие A состоит из C_n^k элементарных исходов, вероятность каждого из которых также равна p^k q^{n-k}.

Определение 17. Набор чисел \bigl\{C_n^k p^k q^{n-k},\, k=0,\,1,\,\dots,\,n\bigr\} называется биномиальным распределением вероятностей.

Номер первого успешного испытания

Рассмотрим схему Бернулли с вероятностью успеха p в одном испытании. Введем величину \tau со значениями 1,\,2,\,3,\,\dots, равную номеру первого успешного испытания.

Теорема 14. Вероятность того, что первый успех произойдет в испытании с номером k\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}, равна \Prob(\tau=k)=p\mspace{2mu}q^{k-1}.

Доказательство. Вероятность первым k-1 испытаниям завершиться неудачей, а последнему - успехом, равна

\qquad
	\Prob(\tau=k)=\Prob
	(\textit{н,\, \dots,\, н},\,\textit{ у})=p\mspace{2mu}q^{k-1}. \qquad

Определение 18. Набор чисел \{p\mspace{2mu}q^{k-1},\,   k=1,\,2,\,3,\,\dots\} называется геометрическим распределением вероятностей.

Геометрическое распределение вероятностей обладает интересным свойством, которое можно назвать свойством "нестарения".

Теорема 15. Пусть \Prob(\tau=k)=p\mspace{2mu}q^{k-1} для любого k\in\mathbb N. Тогда для любых неотрицательных целых n и k имеет место равенство:

\Prob(\tau>n+k  {\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}}  \tau>n) = \Prob(\tau>k).

Если, например, считать величину \tau временем безотказной работы (измеряемым целым числом часов) некоторого устройства, то данному равенству можно придать следующее звучание: вероятность работающему устройству проработать еще сколько-то часов не зависит от того момента, когда мы начали отсчет времени, или от того, сколько уже работает устройство. Общепринятое название этого свойства - свойство отсутствия последействия.

Доказательство. По определению условной вероятности,

\begin{equation}
	\Prob(\tau>n+k {\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}} \tau>n)=\frac{\Prob(\tau>n+k,\, \tau>n)}{\Prob(\tau>n)}=
	\frac{\Prob(\tau>n+k)}{\Prob(\tau>n)}.
	\end{equation} ( 5.1)
Последнее равенство следует из того, что событие \{\tau>n+k\} влечет событие \{\tau>n\}, поэтому пересечение этих событий есть \{\tau>n+k\}. Найдем для целого m\ge 0 вероятность \Prob(\tau>m):
\Prob(\tau>m)=\sum_{i=m+1}^\infty \Prob(\tau=i)=
	\sum_{i=m+1}^\infty p q^{i-1}=\frac{ p q^m}{1-q}=q^m.
Можно получить \Prob(\tau>m) еще проще: событие \{\tau>m\} означает в точности, что в схеме Бернулли первые m испытаний завершились неудачами, т.е. его вероятность равна q^m. Возвращаясь к (5.1), получим
\Prob(\tau>n+k {\hspace{3pt}{\left|\right.}\mspace{1mu}}
	\tau>n)=\frac{\Prob(\tau>n+k)}{\Prob(\tau>n)}=
	\frac{q^{n+k}}{q^n}=q^k=\Prob(\tau>k).
Теорема 15 доказана.

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.