Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7151 / 1241 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 13:

Центральная предельная теорема

< Лекция 12 || Лекция 13: 1234 || Лекция 14 >
Аннотация: Слабая сходимость распределений. Свойства слабой сходимости. Центральная предельная теорема. Теорема Муавра - Лапласа

Как быстро среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию?

Пусть, как в законе больших чисел Чебышева, S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n - сумма n независимых и одинаково распределенных величин с конечной дисперсией. Тогда по ЗБЧ \frac{S_n}{n}{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}{\mathsf E\,}\xi_1 с ростом n. Или, после приведения к общему знаменателю,

\frac{S_n-n\,{\mathsf E\,}\xi_1}{n}{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow} 0.
Если при делении на n мы получили в пределе нуль (в смысле некоторой, все равно какой, сходимости), резонно задать себе вопрос: а не слишком ли на большую величину мы поделили? Нельзя ли поделить на что-нибудь, растущее к бесконечности медленнее, чем n, чтобы получить в пределе не нуль (но и не бесконечность)?

Можно поставить тот же вопрос иначе. Есть последовательность, стремящаяся к нулю. Можно ли ее домножить на что-либо растущее, чтобы "погасить" это стремление к нулю и получить, тем самым, что-нибудь конечное и ненулевое в пределе?

Оказывается, что уже последовательность случайных величин

\frac{S_n-n\,{\mathsf E\,}\xi_1}{\sqrt{n}} = 
\sqrt{n}\cdot\frac{S_n-n\,{\mathsf E\,}\xi_1}{n}
не сходится к нулю. Распределение членов этой последовательности становится все более похожим на нормальное распределение! Можно считать, что такая последовательность сходится к случайной величине, имеющей нормальное распределение, но сходится никак не по вероятности, а только в смысле сходимости распределений, или "слабой сходимости".

Слабая сходимость

Пусть задана последовательность случайных величин \xi_1,\,\xi_2,\,\dots, задано некоторое распределение \mathcal F с функцией распределения F_\xi и пусть \xi - произвольная случайная величина, имеющая распределение \mathcal F.

Определение 46. Говорят, что последовательность случайных величин \xi_1,\,\xi_2,\,\dots сходится слабо или сходится по распределению к случайной величине \xi и пишут: \xi_n\Rightarrow\xi, если для любого x такого, что функция распределения F_\xi непрерывна в точке x, имеет место сходимость F_{\xi_n}(x)\to F_\xi(x) при n\to\infty.

Итак, слабая сходимость - это сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Замечание. Заметим, что сходимость \xi_n\Rightarrow\xi есть сходимость распределений, а не случайных величин: если "предельную" величину \xi заменить на другую величину \eta с тем же распределением, ничего не изменится: в том же смысле \xi_n\Rightarrow\eta.

Следующее свойство очевидно. Если нет - нужно вернуться к определению и свойствам функций распределения.

Свойство 25. Если \xi_n\Rightarrow\xi, и функция распределения F_\xi непрерывна в точках a и b, то \Prob(\xi_n\in(a,\,b))\to
\Prob(\xi\in(a,\,b)). Если во всех точках a и b непрерывности функции распределения F_\xi имеет место сходимость \Prob(\xi_n\in(a,\,b))\to \Prob(\xi\in(a,\,b)), то \xi_n\Rightarrow\xi.

Вместо открытого интервала (a,\,b) можно взять полуоткрытый или замкнутый.

Свойство 26.

  1. Если \xi_n {\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}\xi, то \xi_n\Rightarrow\xi.
  2. Если \xi_n\Rightarrow c=\text{const}, то \xi_n{\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow}c.

Итак, сходимость по вероятности влечет слабую сходимость. Обратное утверждение в общем случае смысла не имеет (см. замечание выше). Однако из слабой сходимости к постоянной вытекает сходимость по вероятности.

Доказательство. Первое утверждение мы докажем чуть позже.

Докажем, что слабая сходимость к постояннной влечет сходимость по вероятности. Пусть \xi_n\Rightarrow c, т.е.

F_{\xi_n}(x)\to F_c(x)=\begin{cases}0, & x\le c; \\ 1,
& x>c \end{cases}
при любом x, являющемся точкой непрерывности предельной функции F_c(x), т.е. при всех x\ne c.

Возьмем произвольное {\varepsilon}>0 и докажем, что \Prob(|\xi_n-c|<{\varepsilon})\to 1:

\Prob(-{\varepsilon}<\xi_n-c<{\varepsilon})=
\Prob(c-{\varepsilon}<\xi_n< c+{\varepsilon})\ge
\Prob(c-{\varepsilon}/2\le\xi_n<c+{\varepsilon})= \\
 =F_{\xi_n}(c+{\varepsilon})-F_{\xi_n}(c-{\varepsilon}/2)
 \to  F_c(c+{\varepsilon})-F_c(c-{\varepsilon}/2)=1-0=1,
поскольку в точках c+{\varepsilon} и c-{\varepsilon}/2 функция F_c непрерывна, и, следовательно, имеет место сходимость последовательностей F_{\xi_n}(c+{\varepsilon}) к F_c(c+{\varepsilon})=1 и F_{\xi_n}(c-{\varepsilon}/2) к F_c(c-{\varepsilon}/2)=0.

Осталось заметить, что \Prob(|\xi_n-c|<{\varepsilon}) не бывает больше 1, так что по свойству предела зажатой последовательности \Prob(|\xi_n-c|<{\varepsilon})\to 1.

Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям - домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.

Замечание Свойство "предел суммы равен сумме пределов" для слабой сходимости просто бессмысленно: сходимости \xi_n\Rightarrow\xi, \eta_n\Rightarrow\eta означают, что нам известны предельные распределения этих последовательностей. Но предельное распределение их суммы может быть различным в зависимости от совместного распределения \xi_n и \eta_n. Иное дело, когда одно из предельных распределений вырождено. Тогда предельная функция распределения суммы или произведения определена однозначно.

< Лекция 12 || Лекция 13: 1234 || Лекция 14 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.