Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7171 / 1255 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик
Лекция 6:

Случайные величины и их распределения

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Аннотация: Случайные величины. Распределения случайных величин. Типы распределений: дискретные, абсолютно непрерывные, сингулярные, смешанные. Функция распределения и ее свойства

Случайные величины

Мы уже видели, что для многих экспериментов нет никаких различий в подсчете вероятностей событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких "похожих" экспериментах вместо самых разных исходов использовать, например, числа. Иначе говоря, каждому элементарному исходу поставить в соответствие некоторое вещественное число, и работать только с числами.

Пусть задано вероятностное пространство \langle\Omega, \mathcal F, \Prob\rangle.

Определение 20. Функция \xi:\Omega\to\mathbb R называется случайной величиной если для любого борелевского множества B\in\mathfrak{B}(\mathbb R) множество \xi^{-1}(B) является событием, т.е. принадлежит \sigma -алгебре \mathcal
F.

Множество \xi^{-1}(B)=\{\omega\,|\,\xi(\omega)\in B\}, состоящее из тех элементарных исходов \omega, для которых \xi(\omega) принадлежит B, называется полным прообразом множества B.

Замечание. Вообще, пусть функция f действует из множества X в множество Y, и заданы \sigma -алгебры \mathcal F и \mathcal G подмножеств X и Y соответственно. Функция f называется измеримой, если для любого множества B\in\mathcal G его полный прообраз f^{-1}(B) принадлежит \mathcal F.

Попробуем понять, зачем случайной величине нужна измеримость. Если задана случайная величина \xi, нам может потребоваться вычислить вероятности вида \Prob(\xi=5)= \Prob\{\omega
\,|\,\xi(\omega)=5\}, \Prob(\xi\in[-3,\,7]), \Prob(\xi\ge 3{,}2), \Prob(\xi<0) и вообще самые разные вероятности попадания в борелевские множества на прямой. Это возможно лишь если множества, стоящие под знаком вероятности, являются событиями - ведь вероятность есть функция, определенная только на \sigma -алгебре событий. Требование измеримости равносильно тому, что для любого борелевского множества B определена вероятность \Prob(\xi\in B).

Можно потребовать в определении 20 чего-нибудь другого. Например, чтобы событием было попадание в любой интервал: {\{\omega  |  \xi(\omega)\in(a,b)\}\in\mathcal F}, или в любой полуинтервал: \{\omega  |  \xi(\omega) < x\}\in\mathcal F.

Определение 21. Функция \xi:\Omega\to\mathbb R называется случайной величиной, если для любых вещественных a<b множество \{\omega\,|\, \xi(\omega)\in (a,\,b)\} принадлежит \sigma -алгебре \mathcal F.

Доказательство. Докажем эквивалентность определений 20 и 21. Если \xi - случайная величина в смысле определения 20, то она будет случайной величиной и в смысле определения 21, поскольку любой интервал (a,\,b) является борелевским множеством.

Докажем, что верно и обратное. Пусть для любого интервала {B=(a,\,b)} выполнено \xi^{-1}(B)\in\mathcal F. Мы должны доказать, что то же самое верно для любых борелевских множеств. Соберем в множестве {\mathcal A=\{B\subseteq \mathbb R | \xi^{-1}(B)\in\mathcal F\}} все такие подмножества B вещественной прямой, что их прообразы являются событиями. По определению, B\in\mathcal A тогда и только тогда, когда множество \xi^{-1}(B) принадлежит \mathcal
F.

Множество \mathcal A уже содержит все интервалы (a,\,b). Покажем, что множество \mathcal A является \sigma -алгеброй.

  1. Убедимся, что \mathbb R\in\mathcal A. Но \xi^{-1}(\mathbb R)=\Omega\in\mathcal F и, следовательно, \mathbb R\in\mathcal A.
  2. Убедимся, что \overline B\in\mathcal A для любого B\in\mathcal A. Пусть \xi^{-1}(B)\in \mathcal F. Тогда \xi^{-1}(\overline B)=\{\omega | \xi(\omega)\not\in
B\}=\Omega\setminus{\xi^{-1}(B)}
\in\mathcal F, так как \mathcal F - \sigma -алгебра.
  3. Убедимся, что B_1\,\cup\, B_2\,\cup\,\ldots\,\in\mathcal A для любых B_1,\,B_2,\,\ldots\in\mathcal A. Пусть \xi^{-1}(B_i)\in \mathcal F для всех i\ge 1. Но \mathcal F - \sigma -алгебра, поэтому
    \xi^{-1}\Bigl(\,\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty
B_i\Bigr)=
\Bigl\{\omega \Big| \xi(\omega)\in \textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty
B_i\Bigr\}=
\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty {\xi^{-1}(B_i)}
\in\mathcal F.

Мы доказали, что \mathcal A - \sigma -алгебра и содержит все интервалы на прямой. Но \mathfrak{B}(\mathbb R) - наименьшая из \sigma -алгебр, содержащих все интервалы на прямой. Следовательно, \mathfrak{B}(\mathbb R)\subseteq \mathcal A.

Приведем примеры измеримых и неизмеримых функций.

Пример 37.

Подбрасываем кубик. Пусть \Omega=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6\} и две функции из \Omega в \mathbb R заданы так: \xi(\omega)=\omega, \eta(\omega)=\omega^2.

Пока не задана \sigma -алгебра \mathcal F, нельзя говорить об измеримости. Функция, измеримая относительно какой-то \sigma -алгебры \mathcal F, может не быть таковой для другой \mathcal F.

  1. Если \mathcal F есть множество всех подмножеств \Omega, то \xi и \eta являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит \mathcal
F, в том числе и \{\omega \,|\,\xi(\omega)\in B\} или \{\omega\,|\, \eta(\omega)\in B\}. Можно записать соответствие между значениями случайных величин \xi и \eta и вероятностями принимать эти значения в виде таблицы распределения вероятностей или, короче, таблицы распределения:
    \begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c}
$\xi$       &  1  &  2  &  3  &  4  &  5  &
 6  \cr \hline
$\vphantom{\int^1}\Prob$ & $\tfrac16$ &
$\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$
& $\frac16$ & $\frac16$
\end{tabular} \quad  
\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c}
$\eta$      &  1  &  4  &  9  &  16  &  25 
&  36  \cr \hline
$\vphantom{\int^1}\Prob$  & $\frac16$ &
$\frac16$ & $\frac16$ & $\frac16$
& $\frac16$ & $\frac16$ 
\end{tabular}
    Здесь \Prob(\xi=1)=\ldots=\Prob(\xi=6)=\Prob(\eta=1)=
\ldots=\Prob(\eta=36)=\frac16.
  2. Пусть \sigma -алгебра событий \mathcal F состоит из четырех множеств:
    \begin{equation} 
\mathcal F=\bigl\{\Omega, \emptyset, \{1,\,3,\,5\}, \{2,\,4,\,6\}\bigr\},
\end{equation} ( 6.1)
    т.е. событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение четного или нечетного числа очков. Убедимся, что при такой сравнительно бедной \sigma -алгебре ни \xi, ни \eta, не являются случайными величинами. Возьмем, скажем, B=\{4\}. Видим, что \{\omega\,|\,\xi(\omega)=4\}=\{4\}\not\in
\mathcal F и \{\omega\,|\, \eta(\omega)=4\}=\{2\}\not\in
\mathcal F.

Пример 38. Пусть \Omega=[0,\,2\pi], \mathcal
F=\mathfrak{B}(\mathbb R)\cap[0,\,2\pi] - сигма-алгебра борелевских подмножеств отрезка [0,\,2\pi], \Prob(B)=\lambda(B)/ 2\pi - геометрическая вероятность на \mathcal F и A - неизмеримое множество Витали, построенное нами в примере 21. Функция

\xi(\omega)=I_A(\omega)=\begin{cases}
1, & \text{ если }\, \omega\in A,\cr
0, & \text{ если }\, \omega\not\in A
\end{cases}
не является случайной величиной, поскольку, например, прообраз единицы \{\omega\,|\,\xi(\omega)=1\}=A не принадлежит \mathcal
F. И вероятность для \xi попасть в единицу \Prob(\xi=1)=\lambda(A) / 2\pi просто не существует.

Познакомимся с важным понятием - "распределение" случайной величины и опишем различные типы распределений случайных величин.

< Лекция 5 || Лекция 6: 12345 || Лекция 7 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.