Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7228 / 1305 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00
Специальности: Математик

Лекция 12: Сходимость последовательностей случайных величин

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >

Неравенства Чебышёва

Чтобы доказывать сходимость по вероятности, требуется уметь вычислять \Prob\left(|\xi_n-\xi|\ge{\varepsilon}\right) при больших n. Но для этого нужно знать распределение \xi_n, что не всегда возможно.

Полезно иметь неравенства, позволяющие оценивать вероятность \Prob\left(|\xi_n-\xi|\ge{\varepsilon}\right) сверху. Тогда для доказательства сходимости по вероятности было бы достаточно устремить к нулю эту оценку.

Все неравенства в этом параграфе принято относить к одному классу неравенств Чебышёва.

Теорема 35 (неравенство Маркова). Если {\mathsf E\,}|\xi|<\infty, то для любого x>0

\Prob\bigl(|\xi|\ge
x\bigr)\le\frac{{\mathsf E\,}|\xi|}{x}\,.

Доказательство. Нам потребуется следующее понятие.

Определение 44. Назовем индикатором события A случайную величину I(A), равную единице, если событие A произошло, и нулю, если A не произошло.

По определению, величина I(A) имеет распределение Бернулли с параметром p=\Prob(I(A)=1)=\Prob(A) и ее математическое ожидание равно вероятности успеха p=\Prob(A). Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством I(A)+I(\overline A)=1. Поэтому

|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|< x)+|\xi|\cdot I(|\xi| \ge  x) 
\ge |\xi|\cdot I(|\xi| \ge  x)
\ge x \cdot I(|\xi| \ge  x).
Тогда {\mathsf E\,}|\xi| \ge
{\mathsf E\,} \bigl(x\cdot I(|\xi|\ge  x)\bigr)=
x\cdot\Prob\bigl(|\xi|\ge  x\bigr). Осталось разделить обе части этого неравенства на положительное число x.

Следствие 16 (обобщенное неравенство Чебышёва). Пусть функция g не убывает и неотрицательна на \mathbb R. Если {\mathsf E\,} g(\xi)<\infty, то для любого x\in \mathbb R

\Prob\bigl(\xi\ge  x\bigr)\le\frac{{\mathsf E\,}
g(\xi)}{g(x)}.

Доказательство. Заметим, что \Prob\bigl(\xi\ge x\bigr)\le \Prob\bigl(g(\xi)\ge
g(x)\bigr), поскольку функция g не убывает. Оценим последнюю вероятность по неравенству Маркова, которое можно применять в силу неотрицательности g:

\qquad\Prob\bigl(g(\xi)\ge g(x)\bigr)\le\frac{{\mathsf E\,}
g(\xi)}{g(x)}.
\qquad

Упражнение. Записать предыдущее неравенство для функции g(x)=e^x и получить экспоненциальное неравенство Чебышёва.

Следствие 17 (неравенство Чебышёва). Если {{\mathsf D\,}\xi} существует, то для любого x>0

\Prob\bigl(|\xi-{\mathsf E\,}\xi|\ge
x\bigr)\le\frac{{\mathsf D\,}\xi}{x^2}.

Доказательство. Для x>0 неравенство |\xi-{\mathsf E\,}\xi|\ge x равносильно неравенству (\xi-{\mathsf E\,}\xi)^2\ge x^2, поэтому

\Prob\bigl(|\xi-{\mathsf E\,}\xi|\ge x\bigr)=
\Prob\bigl((\xi-{\mathsf E\,}\xi)^2\ge x^2\bigr)\le
\frac{{\mathsf E\,}{\bigl(\xi-{\mathsf E\,}\xi\bigr)}^2}{x^2}
=\frac{{\mathsf D\,}\xi}{x^2}.

Неравенство Чебышёва позволяет, помимо всего прочего, получать абсолютные оценки для вероятности того, что стандартизованная случайная величина превзойдет некоторое значение: для любого x>0

\Prob\left(\left|\frac{\xi-{\mathsf E\,}\xi}{\sqrt{{\mathsf D\,}\xi}}\right|\ge x\right) = \Prob\left(|\xi-{\mathsf E\,}\xi|\ge x\sqrt{{\mathsf D\,}\xi}\right) \leq \frac{{\mathsf D\,}\xi}{x^2{\mathsf D\,}\xi} = \frac1{x^2}.
Например, при x=10 эта вероятность не превышает 0{,}01.

< Лекция 11 || Лекция 12: 1234 || Лекция 13 >
Виктория Монахова
Виктория Монахова
Ulmas Abdullaev
Ulmas Abdullaev

Случайные величины кси1 и кси2 независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения величин а) кси1-кси2 б) кси1/кси2.