НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 1: Предварительные сведения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Новосибирский Государственный Университет

Опубликован: 07.04.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 7243 / 1307 | Оценка: 4.56 / 4.32 | Длительность: 16:54:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: алгебра, вычисления, графика, дискретное распределение, замечательный предел, коэффициент асимметрии, несовместное событие, полная группа, распределение бернулли, распределение коши, распределение пуассона, формула полной вероятности, функция Эйлера, цвета, элементы

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Операции над событиями. В теории вероятностей рассматривают те же операции над событиями (множествами), что и в теории множеств. Дадим определения новым событиям - результатам этих операций.

Объединением $A\cup B$ событий и называется событие, состоящее в том, что из двух событий и случилось хотя бы одно. Это событие включает как элементарные исходы из множества $A{\text,}$ так и элементарные исходы из множества ( рис. 1.1).

Пересечением $A\cap B$ событий и называется событие, состоящее в том, что произошли сразу оба события и ., Это событие содержит элементарные исходы, каждый из которых принадлежит и множеству $A{\text,}$ и множеству . Вместо $A\cap B$ часто пишут просто .

Рис. 1.1. Объединение и пересечение событий

Дополнением $A \setminus B$ события до называется событие, состоящее в том, что произошло , но не произошло . Событие $A \setminus B$ содержит элементарные исходы, входящие в множество , но не входящие в .

Противоположным (или дополнительным) к событию называется событие $\overline A=\Omega\setminus A$ , состоящее в том, что не произошло. Событие $\overline A$ состоит из элементарных исходов, не входящих в множество ( рис. 1.2).

Рис. 1.2. Дополнение и противоположное событие

Выделим среди подмножеств $\Omega$ два особых события.

Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, т. е. единственное событие, включающее все элементарные исходы - событие $\Omega$ .

Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т. е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода - "пустое множество" $\varnothing$ .

Очевидны следующие равенства: $\overline \Omega = \emptyset{\text, } \overline \emptyset= \Omega{\text, } A\cap \overline A =\emptyset{\text, } A\cup \overline A=\Omega ,$

$\overline \Omega = \emptyset{\text,} \hspace*{4mm} \overline \emptyset = \Omega{\text,} \hspace*{4mm} A\cap \overline A =\emptyset{\text,} \hspace*{4mm} A\cup \overline A=\Omega{\text,} \hspace*{4mm} A \backslash B = A\cap \overline B.$

Объединение множеств аналогично сложению чисел, пересечение - умножению:

$(A\cup B)\cap C = (A\cap C) \cup (B\cap C), \hspace*{4mm} (A\cap B)\cup C = (A\cup C) \cap (B\cup C).$

Первое из этих равенств очевидно, а второе, хоть и противоречит интуиции, все же верно.

Кроме того, объединение и пересечение событий связаны очень важными соотношениями двойственности:

$\overline{A\cup B}=\overline A\cap \overline B{\text,} \hspace*{5mm} \overline{A\cap B}=\overline A\cup \overline B.$

Пример 8. Пусть событие A_i означает, что -я деталь бракованная, где $1\leq i\leq 3$ - номер детали. Запишем с помощью операций над событиями событие - "ровно две из трех деталей бракованные":

$A=\left(A_1\cap A_2\cap \overline{A_3}\mspace{2mu}\right)\, \cup\, \left(A_1 \cap \overline{A_2}\cap A_3 \right)\, \cup\, \left(\overline{A_1} \cap A_2\cap A_3 \right).$

Выше записано буквально следующее: либо первые две детали бракованные, а третья годная, либо первая и третья детали бракованные, а вторая годная, либо вторая и третья детали бракованные, а первая годная.

Событие $B=\overline{A_1}\cap\overline{A_2}\cap\overline{A_3}$ , означает "все три детали годные".

Событие "хотя бы одна деталь из трех бракованная" можно записать двумя способами: $C=A_1\cup A_2\cup A_3$ и $C=\overline B$ . Равносильность этих двух выражений следует из формул двойственности.

Отношения между событиями. Множества могут пересекаться или не пересекаться, быть включены одно в другое или не быть. В теории вероятностей эти отношения событий носят особые названия.

События и называются несовместными, если они не могут произойти одновременно: $A\,\cap\,B=\emptyset$ .

События $A_1,\,\dots,\,A_n$ называются попарно несовместными, если несовместны любые два из них, т. е. $A_i\cap A_j=\emptyset$ для любых $i\neq j$ .

Говорят, что событие влечет событие $B{\text,}$ и пишут $A\subseteq B{\text,}$ если всегда, как только происходит событие $A{\text,}$ происходит и событие . Это означает, что любой элементарный исход, входящий в множество $A{\text,}$ одновременно входит в множество $B{\text,}$ т. е. содержится в ( рис. 1.3)

Рис. 1.3. Попарно несовместные и вложенные события

Пример 9. При бросании двух игральных костей события "сумма очков равна четырем" и "на первой кости выпало шесть очков" несовместны: они не могут случиться одновременно.

Событие "сумма очков равна двум" влечет за собой событие "на костях выпало одинаковое число очков". Действительно, сумма очков равна двум лишь при выпадении двух единиц. Но тогда на костях выпадет одинаковое число очков. Обратное включение неверно: не всегда, когда на костях выпадает одинаковое число очков, сумма этих очков равна двум.

Событие "сумма очков меньше пяти" влечет за собой событие "сумма очков меньше семи".

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в теорию вероятностей

Предварительные сведения

Вопросы и ответы