НОУ ИНТУИТ | Графы и их применение. Лекция 15: Паросочетания и свадьбы

Результаты этой главы носят более комбинаторный характер, чем результаты всех предыдущих глав, хотя они тесно связаны с теорией графов. Обсудим хорошо известную "теорему о свадьбах", принадлежащую Филиппу Холлу, и некоторые приложения этой теоремы, например, построение латинских квадратов.

Теорема Холла о свадьбах

Теорема о свадьбах, доказанная Филиппом Холлом в 1935 г., отвечает на следующий вопрос, известный под названием задачи о свадьбах: рассмотрим некоторое конечное множество юношей, каждый из которых знаком с несколькими девушками; спрашивается, при каких условиях можно женить юношей так, чтобы каждый из них женился на знакомой ему девушке? (Будем считать, что полигамия не разрешена.) Например, если имеется четверо юношей $\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}\}$ и пять девушек $\{g_{1},g_{2},g_{3}, g_{4},g_{5}\}$ , а отношения знакомства между ними показаны в таблице 1, то возможно следующее решение: $b_{1}$ женится на $g_{4}$ , $b_{2}$ — на $g_{1}$ , $b_{3}$ — $g_{3}$ , а $b_{4}$ — на $g_{2}$ .

Таблица 15.1.
Юноша	Девушки, с которыми знаком юноша

Эту задачу можно представить графически, взяв двудольный граф с множеством вершин, разделенных на два непересекающихся подмножества $V_{1},V_{2}$ , представляющих юношей и девушек, соответственно, и соединив ребром каждого юношу со знакомой ему девушкой.

Рис. 15.1.

Напомним определение двудольного графа. Допустим, что множество вершин графа можно разбить на два непересекающихся подмножества $V_{1}$ и $V_{2}$ так, что каждое ребро в соединяет какую-нибудь вершину из $V_{1}$ с какой-либо вершиной из $V_{2}$ , тогда называем двудольным графом. Такие графы иногда обозначают $G(V_{1},V_{2})$ , если хотят выделить два указанных подмножества. Двудольный граф можно определить и по-другому в терминах раскраски его вершин двумя цветами, скажем, красным и синим. При этом граф называется двудольным, если каждую его вершину можно окрасить красным или синим цветом так, чтобы любое ребро имело один конец красный, а другой — синий. Следует подчеркнуть, что в двудольном графе совсем не обязательно каждая вершина из $V_{1}$ соединена с каждой вершиной из $V_{2}$ ; если же это так и если при этом граф , простой, то он называется полным двудольным графом и обычно обозначается $K_{m,n}$ , где m,n — число вершин, соответственно, в $V_{1}$ и $V_{2}$ .

Совершенным паросочетанием из $V_{1}$ в $V_{2}$ в двудольном графе $G(V_{1},V_{2})$ называется взаимно однозначное соответствие между вершинами из $V_{1}$ и подмножеством вершин из $V_{2}$ , обладающее тем свойством, что соответствующие вершины соединены ребром. Ясно, что задачу о свадьбах можно выразить в терминах теории графов следующим образом: если $G=G(V_{1,V_{2})$ — двудольный граф, то при каких условиях в существует совершенное паросочетание из $V_{1}$ в $V_{2}$ ?

Используя прежнюю "матримониальную" терминологию, можно сформулировать следующее очевидное утверждение: необходимое условие для существования решения в задаче о свадьбах в том, что любые юношей из данного множества должны быть знакомы (в совокупности ), по меньшей мере, с девушками (для всех целых , удовлетворяющих неравенствам $1\le k\le m$ , где через обозначено общее число юношей). Необходимость этого условия сразу вытекает из того, что если оно не верно для какого-нибудь множества юношей, то мы не сможем женить требуемым способом даже этих юношей, не говоря уже об остальных.

Дальше >>

Авторизоваться

Графы и их применение

Паросочетания и свадьбы

Паросочетания и свадьбы

Теорема Холла о свадьбах

Вопросы и ответы