Паросочетания и свадьбы

Приложение теоремы Холла

Рассмотрим приложения теоремы Холла в различных областях.

Латинские квадраты

Латинским - прямоугольником называется ( )-матрица , элементами которой являются целые числа, удовлетворяющие условиям (1) , (2) все элементы в каждой строке и в каждом столбце различны . Заметим, что из условий (1) и (2) следует, что ; если , то латинский прямоугольник называется латинским квадратом. К примеру, ниже изображены латинский -прямоугольник и латинский -квадрат. Можно задать следующий вопрос: если дан латинский -прямоугольник, где , когда можно присоединить к нему новых строк так, чтобы получился латинский квадрат? Удивительно, что ответ на этот вопрос "всегда"!

Латинские квадраты долгое время были известны лишь математикам и любителям головоломок и, в основном, благодаря одной знаменитой задаче Л. Эйлера^{1Леонард Эйлер (1707-1783) — один из великих математиков XVIII века, создавших основы математического анализа. Швейцарец по происхождению, он жил и работал преимущественно в России. Эйлер, выделявшийся своей исключительной интуицией и разносторонностью интересов, оставил глубокий след практически во всех областях современной ему математики. Большое количество его замечательных результатов послужило основой для дальнейшего развития многих разделов математики.} В 1782 г. Эйлер предложил следующую проблему.

Среди 36 офицеров находится по шесть офицеров шести различных званий из шести полков. Можно ли построить этих офицеров в каре так, чтобы в каждой колонне и каждой шеренге встречались офицеры всех званий и всех полков?

Лишь в 1901 г. удалось доказать, что это невозможно. Однако связанные с задачей Эйлера латинские квадраты не потеряли интереса, так как вскоре обнаружилось, что они имеют многообразные практические применения. А в конце 60-х годов двадцатого столетия они были применены в теории кодирования. Получающиеся на их основе коды допускают простые алгоритмы декодирования.