НОУ ИНТУИТ | Графы и их применение. Лекция 10: Цепи Маркова

Степенью выхода вершины $v_{a}$ ориентированного графа называется число выходящих из $v_{a}$ дуг (ребер). Степенью входа вершины $v_{a}$ ориентированного графа называется число входящих в $v_{a}$ дуг (ребер).

Изолированной вершиной называется вершина, у которой и степень входа, и степень выхода равны . Источником называется вершина, степень выхода которой положительна, а степень входа равна . Стоком называется вершина, степень входа которой положительна, а степень выхода равна . Путем в ориентированном графе от $v_{1}$ до $v_{n}$ называется последовательность ориентированных дуг (ребер) $(v_{1},v_{2}),(v_{2},v_{3}),\ldots$ , $(v_{n-1},v_{n})$ , такая, что конец каждой предыдущей дуги (ребра) совпадает с началом следующей и ни одна дуга (ребро) не встречается более одного раза. Если в ориентированном графе нашелся путь от $v_{a}$ до $v_{b}$ , то обратного пути от $v_{b}$ к $v_{a}$ может и не быть. Простым путем в ориентированном графе называется путь, в котором ни одна вершина не содержится более одного раза. Замкнутый путь в ориентированном графе называется ориентированным циклом. Длиной пути называется число дуг (ребер) в этом пути. Расстоянием от $v_{a}$ до $v_{b}$ в ориентированном графе называется длина наикратчайшего пути от $v_{a}$ до $v_{b}$ . Если пути от $v_{a}$ до $v_{b}$ не существует, то расстояние от $v_{a}$ до $v_{b}$ называется бесконечным. Оно обозначается $\infty$ . Расстояние от $v_{a}$ до $v_{b}$ будем обозначать $S(v_{a} v_{b})$ . Полным ориентированным графом называется граф, каждая пара вершин которого соединена в точности одной ориентированной дугой (ребром). Если с каждого ребра (дуги) полного ориентированного графа снять направление, то образуется полный граф с неориентированными ребрами (дугами).

Задачи на круговые бескомпромиссные турниры

Напомним, что соревнование, в котором каждая из команд играет с каждой из остальных команд в точности по одному разу, называют круговым турниром или турниром в один круг. Если каждая встреча оканчивается непременно выигрышем одной из команд, то круговой турнир называется бескомпромиссным. Круговой бескомпромиссный турнир проводится, например, в волейболе и баскетболе. Так как мы рассматриваем исключительно бескомпромиссные круговые турниры, не возникает опасности спутать их с каким-либо другим видом турниров; такое соревнование будем называть сокращенно турниром. Каждому турниру соответствует полный ориентированный граф, в котором вершины представляют команды, а каждая ориентированная дуга $(v_{a},v_{b})$ выражает отношение " $v_{a}$ победила $v_{b}$ ". Степень выхода любой вершины $v_{a}$ есть число побед, одержанных командой $v_{a}$ .

Задача 1. Турнир по волейболу проводится между командами. Докажем, что если какие-нибудь две команды одержали в турнире одинаковое число побед, то найдутся среди участников три команды I, II, III, такие, что I выиграла у II, II выиграла у III, а III выиграла у I.

Решение. Пусть $v_{a}$ и $v_{b}$ — две команды, одержавшие одинаковое число побед, например, побед. Пусть к тому же $v_{a}$ выиграла у $v_{b}$ . Те команд, у которых выиграла команда $v_{b}$ , обозначим $c_{1},c_{2} \dts c_{p}$ (рис. 10.1).

Рис. 10.1.

Рис. 10.2.

Команда $v_{a}$ не могла одержать победы над всеми командами из числа $c_{1}, c_{2} \dts c_{p}$ , так как иначе она одержала бы больше, чем побед.

Следовательно, среди команд $c_{1},c_{2} \dts v_{p}$ найдется хотя бы одна, которая одержала победу над $v_{a}$ . Стрелку от нее направим $v_{a}$ . Путь замкнется.

Сформулируем полученный результат на языке графов.

Дальше >>

Авторизоваться

Графы и их применение

Цепи Маркова

Еще раз об ориентированных графах

Задачи на круговые бескомпромиссные турниры

Вопросы и ответы