НОУ ИНТУИТ | Языки и исчисления. Лекция 9: Исчисление предикатов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 723 / 35 | Оценка: 4.60 / 4.30 | Длительность: 25:56:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Корректность исчисления предикатов

Теорема 43. Всякая выводимая в исчислении предикатов формула является общезначимой.

Для исчисления высказываний проверка корректности была тривиальной — надо было по таблице проверить, что все аксиомы (1)-(11) являются тавтологиями. С этими аксиомами и сейчас нет проблем. Но в двух следующих аксиомах есть ограничение на корректность подстановки, без которого они могут не быть общезначимыми. Естественно, это ограничение должно быть использовано и в доказательстве корректности, и это потребует довольно скучных рассуждений — тем более скучных, что сам факт кажется ясным и так. Тем не менее такие рассуждения надо уметь проводить, так что мы ничего пропускать не будем.

Итак, пусть фиксирована сигнатура $\sigma$ , а также некоторая интерпретация этой сигнатуры. Всюду далее, говоря о термах и формулах, мы имеем в виду термы и формулы этой сигнатуры, а говоря об их значениях, имеем в виду значения в этой интерпретации.

Лемма 1. Пусть и — термы, а $\xi$ — переменная. Тогда

$[u (t/\xi)](\pi) = [u](\pi + (\xi\mapsto [t](\pi)))$

для произвольной оценки $\pi$ .

Напомним обозначения: в левой части мы подставляем вместо $\xi$ в терм , и берем значение получившегося терма на оценке $\pi$ . В правой части стоит значение терма на оценке, которая получится из $\pi$ , если значение переменной $\xi$ изменить и считать равным значению терма на оценке $\pi$ .

В сущности, это утверждение совершенно тривиально: оно говорит, например, что значение $\sin(\cos(x))$ при x=2 равно значению $\sin(y)$ при $y=\cos(2)$ . Но раз уж мы взялись все доказывать формально, докажем его индукцией по построению терма . Если терм есть переменная, отличная от $\xi$ , то ни подстановка, ни изменение оценки не сказываются на значении терма . Для случая $u=\xi$ получаем $[t](\pi)$ слева и справа. Если терм получается из других термов применением функционального символа, то подстановка выполняется отдельно в каждом из этих термов, так что искомое равенство также сохраняется. Лемма 1 доказана.

Аналогичное утверждение для формул таково:

Лемма 2. Пусть $\varphi$ — формула, — терм, а $\xi$ — переменная, причем подстановка вместо $\xi$ в формулу $\varphi$ корректна. Тогда

$[\varphi(t/\xi)](\pi) = [\varphi](\pi + (\xi\mapsto [t](\pi)))$

для произвольной оценки $\pi$ .

Поясним смысл этой леммы на примере. Пусть $\xi$ является единственным параметром формулы $\varphi$ , а — константа. Тогда формула $\varphi(c/\xi)$ замкнута; лемма утверждает, что ее истинность равносильна истинности $\varphi$ на оценке, при которой значение переменной $\xi$ есть элемент интерпретации, соответствующий константе .

Доказательство леммы проведем индукцией по построению формулы $\varphi$ . Для атомарных формул это утверждение является прямым следствием леммы 1. Кроме того, из определения истинностного значения формулы и из определения подстановки ясно, что если утверждение леммы 2 верно для двух формул $\varphi_1$ и $\varphi_2$ , то оно верно для их любой их логической комбинации (конъюнкции, дизъюнкции и импликации); аналогично для отрицания.

Единственный нетривиальный случай — формула, начинающаяся с квантора. Здесь наши определения вступают в игру. Пусть $\varphi$ имеет вид $\forall \eta\, \psi$ . Есть два принципиально разных случая: либо $\xi$ является параметром формулы $\varphi$ (т. е. формулы $\forall \eta\,\psi$ ), либо нет. Во втором случае $\varphi(t/\xi)$ совпадает с $\varphi$ , а изменение значения переменной $\xi$ в оценке $\pi$ не влияет на значение формулы $\varphi$ , так что все сходится. Осталось разобрать случай, когда $\xi$ является параметром формулы $\forall \eta\,\psi$ (отсюда следует, что $\xi$ не совпадает с $\eta$ ). По определению корректной подстановки, в этом случае переменная $\eta$ не входит в терм и подстановка $\psi(t/\xi)$ корректна. Тогда

$\begin{align*} [(\forall \eta\, \psi)&(t/\xi)](\pi)= [\forall \eta\, (\psi(t/\xi))](\pi) =\\ &=\wedge_m [\psi(t/\xi)](\pi+(\eta\mapsto m)) = \\ &=\wedge_m [\psi](\pi+(\eta\mapsto m)+ (\xi\mapsto[t](\pi+(\eta\mapsto m)))). \end{align*}$

Мы воспользовались определением подстановки, определением истинности ( $\wedge_m$ означает конъюнкцию по всем элементам из носителя интерпретации) и предположением индукции для формулы $\psi$ . Теперь надо заметить, что переменная $\eta$ не входит в

по предположению корректности, и потому значение терма

не изменится, если заменить $\pi+(\eta\mapsto m)$ на $\pi$ . Далее, $\xi$ и $\eta$ различны, поэтому два изменения в $\pi$ можно переставить местами. Используя эти соображения, можно продолжить цепочку равенств:

$\begin{align*} &=\wedge_m [\psi](\pi+(\xi\mapsto [t](\pi))+(\eta\mapsto m)) = \\ &=[\forall \eta\,\psi](\pi+(\xi\mapsto [t](\pi))) = \\ &=[\varphi](\pi+(\xi\mapsto [t](\pi))), \end{align*}$

что и требовалось. Случай формулы вида $\exists\xi\,\psi$ разбирается аналогично, надо только $\wedge_m$ заменить на $\vee_m$ . Лемма 2 доказана.

Теперь уже ясно, почему формула

$\forall \xi \, \varphi \to \varphi(t/\xi)$

будет истинна на любой оценке $\pi$ (если подстановка корректна). В самом деле, если левая часть импликации истинна на $\pi$ , то $\varphi$ будет истинна на любой оценке $\pi'$ , которая отличается от $\pi$ лишь значением переменной $\xi$ . В частности, $\varphi$ будет истинна и на оценке $\pi+(\xi\mapsto [t](\pi))$ , что по только что доказанной лемме 2 означает, что правая часть импликации истинна на $\pi$ .

Общезначимость формулы

$\varphi(t/\xi) \to \exists \xi\,\varphi$

доказывается аналогично.

Нам осталось проверить, что правила вывода сохраняют общезначимость. Для правила MP это очевидно (как и в случае исчисления высказываний). Проверим это для правил Бернайса. Это совсем несложно, так как здесь нет речи ни о каких корректных подстановках.

Пусть, например, формула $\psi \to \varphi$ общезначима и переменная $\xi$ не является параметром формулы $\psi$ . Проверим, что формула $\psi\to\forall\xi\,\varphi$ общезначима, то есть истинна на любой оценке $\pi$ (в любой интерпретации). В самом деле, пусть $\psi$ истинна на оценке $\pi$ . Тогда она истинна и на любой оценке $\pi'$ , отличающейся от $\pi$ только значением переменной $\xi$ (значение переменной $\xi$ не влияет на истинность $\psi$ , так как $\xi$ не является параметром). Значит, и формула $\varphi$ истинна на любой такой оценке $\pi'$ . А это в точности означает, что $\forall \xi\,\varphi$ истинна на оценке $\pi$ , что и требовалось.

Для второго правила Бернайса рассуждение симметрично. Пусть формула $\varphi\to\psi$ общезначима и переменная $\xi$ не является параметром формулы $\psi$ . Покажем, что формула $\exists \xi\,\varphi\to\psi$ общезначима. В самом деле, пусть ее левая часть истинна на некоторой оценке $\pi$ . По определению истинности формулы, начинающейся с квантора существования, это означает, что найдется оценка $\pi'$ , которая отличается от $\pi$ только на переменной $\xi$ , для которой $[\varphi](\pi')$ истинно. Тогда и $[\psi](\pi')$ истинно. Но переменная $\xi$ не является параметром формулы $\psi$ , так что $[\psi](\pi')=[\psi](\pi)$ . Следовательно, формула $\psi$ истинна на оценке $\pi$ , что и требовалось доказать.

Дальше >>

Авторизоваться

Языки и исчисления

Исчисление предикатов

Корректность исчисления предикатов

Вопросы и ответы