Игра Эренфойхта и понижение мощности

Лемма 4. Пусть замкнуто относительно сигнатурных функций и экзистенциально замкнуто. Тогда является элементарным расширением .

Отсюда уже вытекает утверждение теоремы 42: применим лемму 3 к некоторому счетному подмножеству множества , а затем воспользуемся леммой 4.

Доказательство леммы 4 также довольно просто. Напомним определение элементарного расширения: требуется, чтобы

для любой формулы и для любых элементов .

(Формально следовало бы сказать: для любой формулы с параметрами и любой оценки, при которой все параметры принимают значения в , истинность этой формулы в на этой оценке равносильна истинности той же формулы в на той же оценке.)

Будем доказывать это индукцией по построению формулы . Для атомарных формул это очевидно: значения термов не зависят от того, проводим ли мы вычисления в или , а предикаты на индуцированы из .

Если формула есть конъюнкция, дизъюнкция, импликация или отрицание, то ее истинность как в , так и в определяется истинностью ее частей (и можно сослаться на предположение индукции).

Единственный нетривиальный случай — если формула начинается с квантора. Мы можем сократить себе работу и рассматривать только квантор существования, так как можно заменить на . Итак, пусть имеет вид

Если для некоторых , то по определению истинности найдется элемент , для которого . Тогда по предположению индукции (формула короче формулы ) можно перейти к большей интерпретации и заключить, что , и потому по определению истинности . Обратное рассуждение просто так не проходит, поскольку существующий элемент существует в , а не в , и предположение индукции применить нельзя. Однако ровно для этого у нас есть требование экзистенциальной замкнутости, которое позволяет заменить элемент на другой элемент из и завершить доказательство.

Вот пример применения теоремы Левенгейма-Сколема в алгебре: существует алгебраически замкнутое счетное подполе поля комплексных чисел. (В самом деле, требование алгебраической замкнутости можно записать в виде счетной последовательности формул — по одной для каждой степени многочлена. Аксиомы поля также можно записать в виде формул. Значит, счетная элементарная подмодель поля будет также алгебраически замкнутым полем.)

Впрочем, алгебраистов такое применение скорее насмешит — они и так знают, что алгебраические элементы поля (корни многочленов с целыми коэффициентами) образуют счетное алгебраически замкнутое поле.

Любопытный парадокс связан с попытками применить теорему Левенгейма-Сколема в теории множеств. Представим себе интерпретацию языка теории множеств (предикаты и ), носителем которой является множество всех множеств. Такого множества, строго говоря, не бывает, но если про это забыть и применить теорему Левенгейма-Сколема об элементарной подмодели, то можно оставить лишь счетное число множеств так, чтобы истинность утверждений теории множеств не изменилась. Но среди этих утверждений есть и утверждение о существовании несчетного множества — как же так? Это рассуждение содержит столько пробелов, что указать один из них совсем нетрудно. Тем не менее оно может быть переведено в аксиоматическую теорию множеств и дает интересные (хотя уже не парадоксальные) результаты.

Два дополнительных замечания усиливают теорему Левенгейма-Сколема. Во-первых, легко видеть, что для всякого конечного или счетного подмножества найдется счетная элементарная подструктура , содержащая все элементы . (В самом деле, процесс замыкания, использованный при доказательстве, можно начинать с множества .)

Во-вторых, можно отказаться от требования счетности сигнатуры и сказать так: для всякого подмножества найдется элементарная подструктура , содержащая , мощность которой не превосходит максимума из , мощности множества и мощности сигнатуры. В самом деле, и конструкция замыкания относительно сигнатурных операций, и конструкция экзистенциального замыкания, и счетное объединение возрастающей цепи не выводят мощность за пределы указанного максимума, поскольку и формулы, и термы являются конечными последовательностями символов сигнатуры и счетного числа других символов (см. подробнее в [6]); то же самое можно сказать о числе возможных наборов значений параметров.

Мы научились уменьшать мощность структуры, не меняя множества истинных в ней формул. Можно, напротив, увеличивать мощность (соответствующее утверждение иногда называют теоремой Левенгейма-Сколема об элементарном расширении). Но эта конструкция использует теорему компактности для языков первого порядка, которая в свою очередь вытекает из теоремы Геделя о полноте. Поэтому мы отложим обсуждение этого утверждения до следующей лекции.