НОУ ИНТУИТ | Языки и исчисления. Лекция 4: Контрпример

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

31. Провести подробно доказательство выводимости в интуиционистском исчислении высказываний всех перечисленных формул.

С другой стороны, многие законы классической логики перестают быть выводимыми без закона исключенного третьего. Таковы, например, формулы

$\begin{align*} &\lnot\lnot p \to p,\\ & p \lor \lnot p,\\ &\lnot p \lor \lnot\lnot p,\\ &(\lnot q\to \lnot p) \to (p\to q),\\ &\lnot (p\land q) \to (\lnot p\lor\lnot q),\\ &((p\lor q)\to p) \lor ((p \lor q)\to q). \end{align*}$

Мы пишем здесь переменные

и

, а не произвольные формулы, поскольку результат подстановки некоторых формул вместо

и

может быть выводимой формулой. Например, если вместо

в первую из перечисленных формул подставить формулу $\lnot A$ , то получится выводимая формула $\lnot\lnot\lnot A \to \lnot A$ .

Довольно ясно, что эти формулы не согласуются с интуиционистским подходом. Например, в предпоследней формуле говорится, что если мы опровергли предположение $(p \land q)$ , то мы можем указать на одно из предположений и и предъявить его опровержение. Вряд ли такой переход можно считать обоснованным с интуиционистской точки зрения. Но, разумеется, формальный вопрос о выводимости требует формального ответа.

Начнем с закона исключенного третьего.

Теорема 24.Формула $p\lor\lnot p$ не выводима в интуиционистской логике.

В классической логике каждая пропозициональная переменная может принимать два значения — истина ( И ) и ложь ( Л ). В зависимости от значений переменных каждой формуле также приписывается значение И или Л. Расширим множество истинностных значений, добавив новое значение Н (если угодно, можно считать это сокращением слова "неизвестно"). Мы отождествляли И с единицей, а Л — с нулем, так что логично отождествить Н с числом 1/2 .

Мы докажем, что интуиционистски выводимые формулы всегда принимают значение И, а формула $p\lor\lnot p$ не такова, и потому не выводима.

Чтобы определить значения формул в трехзначной логике, необходимо задать таблицы истинности для всех пропозициональных связок. Конъюнкцию определим как минимум из двух значений (так что, например, $\text{Л} \land \text{Н} = \text{Л}$ , а $\text{И} \land \text{Н} = \text{Н}$ ), а дизъюнкцию — как максимум. Отрицание действует так: $\neg\text{И}=\text{Л}$ , $\neg\text{Л}=\text{И}$ , $\neg\text{Н}=\text{Л}$ . (Последнее может показаться странным: почему бы не считать, что $\lnot\text{Н}=\text{Н}$ ? Оказывается, так нельзя — например, потому, что тогда формула $\lnot (p\land\lnot p)$ , которая выводима в интуиционистской логике, будет иметь значение $\text{Н}$ при $p=\text{Н}$ .)

Сложнее всего определение истинности для импликации. Мы полагаем, что

$(\text{И}\to x)=x \quad\text{и}\quad (\text{Л}\to x)=\text{И}$

для любого истинностного значения

, а также что

$(\text{Н}\to\text{Л})=\text{Л}, \quad (\text{Н}\to\text{Н})=\text{И} \text{ и }(\text{Н}\to\text{И})=\text{И}.$

Назовем формулу -тавтологией, если она принимает значение И при любых значениях переменных из множества $\{\text{И},\text{Л},\text{Н}\}$ . Теперь надо проверить две вещи: (1) все аксиомы интуиционистского исчисления являются -тавтологиями; (2) если посылка импликации и вся импликация являются - тавтологиями, то и заключение тоже является -тавтологией. Второе сразу ясно из определения импликации, а первое надо аккуратно проверять, составив таблицы для всех аксиом. Мы не будем этого подробно делать, поскольку это чисто механическая проверка и поскольку чуть позже мы сможем вывести это из более общего утверждения.

Следовательно, всякая интуиционистски выводимая формула является -тавтологией. Теперь заметим, что формула $p\lor\lnot p$ принимает значение Н при $p=\text{Н}$ и потому не является -тавтологией — значит, невыводима.

32. Покажите, что всякая -тавтология является тавтологией в обычном смысле.

Использованный нами прием годится не всегда. Например, интуиционистски невыводимая формула $\lnot p \lor\lnot\lnot p$ является -тавтологией, поскольку (согласно нашему определению) формула $\lnot p$ может принимать только значения И и Л.

33. Какие из перечисленных нами интуиционистски невыводимых формул являются -тавтологиями?

Более общий способ установления недоказуемости (невыводимости) различных формул доставляют шкалы Крипке (или модели Крипке, как еще говорят).

Чтобы задать шкалу Крипке, нужно:

указать частично упорядоченное множество $\langle W,\le\rangle$ , называемое множеством миров;
для каждого мира указать, какие из пропозициональных переменных считаются истинными в этом мире (остальные переменные считаются ложными в этом мире). Если переменная истинна в мире , мы пишем $w\Vdash x$ .

При этом требуется, чтобы было выполнено следующее: если $u\le v$ и $u\Vdash x$ , то $v\Vdash x$ (область истинности любой переменной наследственна вверх).

Когда шкала задана, можно определить истинность любой формулы (в данном мире) индукцией по построению формулы. Мы пишем $w\Vdash A$ , если в мире истинна формула . Вот индуктивное определение:

$w\Vdash A\land B$ , если $w\Vdash A$ и $w\Vdash B$ ;
$w\Vdash A\lor B$ , если $w\Vdash A$ или $w\Vdash B$ ;
$w\Vdash A\to B$ , если в любом мире $u\ge w$ , в котором истинна формула , истинна также и формула ;
$w\Vdash\neg A$ , если ни в каком мире $u\ge w$ формула не является истинной.

Формула, не являющаяся истинной (в данном мире), называется ложной (в нем).

Определение истинности для отрицания, как легко проверить, согласовано с пониманием $\lnot A$ как $A\to{\perp}$ , где $\perp$ — тождественно ложная (во всех мирах) формула.

Именно определение импликации (и отрицания) использует порядок на множестве миров. Если формула содержит лишь конъюнкции и дизъюнкции, то ее истинность по существу определяется отдельно в каждом мире.

Индукцией по построению формулы легко проверить, что если она истинна в каком-то мире, то истинна и во всех больших мирах. В самом деле, пересечение и объединение двух наследственных вверх множеств также обладает этим свойством, так что для случая конъюнкции и дизъюнкции можно сослаться на предположение индукции. А для импликации даже и этого не нужно, достаточно посмотреть на определение.

Философский смысл шкал Крипке иногда объясняют так. Пусть есть множество возможных состояний цивилизации (миров); $w\le u$ означает, что мир может получиться из мира в результате развития цивилизации. Утверждение $w\Vdash A$ означает, что в мире установлено, что высказывание истинно. (При этом оно останется истинным и при дальнейшем развитии цивилизации.) Истинность $\lnot A$ в мире означает, что ни при каком развитии цивилизации из состояния высказывание не станет истинным.

Определение истинности отрицания в шкалах Крипке предвосхитил Пушкин, когда писал "нет правды на земле. Но правды нет и выше, $\ldots$ " (Моцарт и Сальери).

34.Во что превращается определение истинности в шкале Крипке, если в ней только один мир? если в ней никакие два мира не сравнимы?

Дальше >>

Авторизоваться

Языки и исчисления

Контрпример

Вопросы и ответы