Введение в методы численного решения уравнений газовой динамики
4.6. Задачи для самостоятельного решения
-
Волны Римана
Выпишем нелинейную систему уравнений одномерных движений идеальной сжимаемой жидкости в случае баротропных процессов. Она состоит из уравнения Эйлера
уравнения неразрывности
и условия баротропности
Уравнения позволяют определить плотность
и скорость u в зависимости от координаты x и времени t. Система не имеет решений, зависящих только от
, но оказывается возможным найти решение этой системы, представляющее собой плоскую волну и являющееся обобщением решений вида
. Будем искать такие решения системы, для которых скорость u является функцией только плотности
Частные решения системы уравнений носят названия решений Римана; соответствующие этим решениям движения называются волнами Римана
.
- Доказать, что в рассматриваемом течении скорость можно определить по формуле
Обозначим
и введем величину c = u + a. Какой физический смысл имеет величина c? - Задав начальный профиль возмущения плотности, численно решить уравнение для
:
- для случая адиабатических движений совершенного газа (
):
- задав самостоятельно некоторую зависимость давления от плотности,
.
- для случая адиабатических движений совершенного газа (
- Описать качественное поведение решения
. Указать, какие требования к численному методу предъявляет возникновение в потоке скачков уплотнения. Вывести зависимость
, при которой не возникает эффекта опрокидывания волны сжатия Римана. Дать физическую трактовку полученного соотношения. Провести численный расчет течения с полученной зависимостью
.
- Доказать, что рассмотренные решения Римана можно определить как такие решения, для которых имеется семейство прямолинейных характеристик.
- Поставить условия существования центрированных волн Римана, когда
.
Течения подобного типа — частный случай автомодельных течений, когда решение зависит от некоторой комбинации независимых переменных. Проиллюстрировать численными расчетами особенности распространения центрированных волн Римана.
- Доказать, что в рассматриваемом течении скорость можно определить по формуле