Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2002 / 569 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00
ISBN: 978-5-9556-0062-8
Специальности: Математик
Лекция 17:

Алгоритмически неразрешимые проблемы

< Лекция 16 || Лекция 17: 123
Аннотация: В данной лекции рассматриваются оказавшиеся неразрешимыми алгоритмические проблемы, связанные с контекстно-свободными языками. Доказывается неразрешимость проблем пустоты пересечения, бесконечности пересечения, однозначности, равенства, автоматности, контекстной свободности дополнения и пересечения контекстно-свободного языка. Доказательства приведены на практических примерах, а также приведены упражнения для самостоятельной проработки

В этой лекции рассматриваются оказавшиеся неразрешимыми алгоритмические проблемы, связанные с контекстно-свободными языками. Всюду предполагается, что в индивидуальных задачах каждый язык представлен контекстно-свободной грамматикой (но можно, конечно, использовать и автоматы с магазинной памятью).

В разделе 16.1 доказывается неразрешимость проблемы пустоты пересечения контекстно-свободных языков и проблемы бесконечности пересечения контекстно-свободных языков.

В разделе 16.2 доказывается неразрешимость проблемы однозначности контекстно-свободной грамматики.

В разделе 16.3 доказывается неразрешимость проблемы равенства контекстно-свободных языков.

В разделе 16.4 доказывается неразрешимость проблемы автоматности контекстно-свободного языка.

В разделе 16.5 доказывается неразрешимость проблем контекстной свободности дополнения контекстно-свободного языка и пересечения контекстно-свободных языков.

16.1. Пересечение контекстно-свободных языков

Определение 16.1.1. Рассмотрим алфавит \Sigma_3 = \{ a , b , c \} . Пусть \vec x = ( x_1 , \ldots , x_n ) , где x_i \in \{ a , b \}^* для всех i. Обозначим через G ( \vec x ) линейную грамматику \lalg \{ S \} , \Sigma_3 , P , S \ralg , где

P = \{ S \tto b a^i S x_i \mid 1 \leq i \leq n \} \cup
\{ S \tto b a^i c x_i \mid 1 \leq i \leq n \} .
Обозначим через \pcpl{\vec x} язык, порождаемый грамматикой G ( \vec x ) .

Лемма 16.1.2. Язык \pcpl{\vec x} \cap \pcpl{\vec y} является непустым тогда и только тогда, когда постовская система соответствия ( \vec x , \vec y ) имеет решение.

Пример 16.1.3. Рассмотрим постовскую систему соответствия

\domino{ b }{ bba } ,
\domino{ abbaa }{ a }
(то есть n = 2, \vec x = ( b , abbaa ) и \vec y = ( bba , a ) ). Решениями этой системы являются последовательности (1, 1, 2), (1, 1, 2, 1, 1, 2) и т. д. Легко убедиться, что
\pcpl{\vec x} \cap \pcpl{\vec y} =
 \{ (baababa)^n c (bbabbaa)^n \mid n \geq 1 \} .

Теорема 16.1.4. Пусть | \Sigma | \geq 2 . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольным контекстно-свободным грамматикам G1 и G2 над алфавитом \Sigma узнать, верно ли, что L(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing .

Доказательство. Сначала докажем утверждение теоремы для случая | \Sigma | \geq 3 . Из леммы 16.1.2 следует, что если бы проблема распознавания свойства L(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing для контекстно-свободных грамматик над алфавитом \Sigma была разрешима, то проблема соответствий Поста тоже была бы разрешима. Поэтому из неразрешимости проблемы соответствий Поста следует неразрешимость проблемы распознавания свойства L(G_1) \cap L(G_2) = \varnothing для контекстно-свободных грамматик над алфавитом \Sigma .

Чтобы доказать утверждение теоремы для случая | \Sigma | = 2 (например, \Sigma = \{ d , e \} ), достаточно заменить в определении G (\vec x) символ a на ede, символ b на edde и символ c на eddde.

Лемма 16.1.5. Язык \pcpl{\vec x} \cap \pcpl{\vec y} является бесконечным тогда и только тогда, когда постовская система соответствия ( \vec x , \vec y ) имеет решение.

Доказательство. Если постовская система соответствия имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечно много решений.

Теорема 16.1.6. Пусть | \Sigma | \geq 2 . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольным контекстно-свободным грамматикам G1 и G2 над алфавитом \Sigma узнать, является ли бесконечным язык L(G_1) \cap L(G_2) .

Упражнение 16.1.7. Пусть \Sigma = \{ a, b, c, d_1, d_2, d_3 \} . Рассмотрим язык L1, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
F \; & {\to} \; d_1 F a , \\
F \; & {\to} \; d_2 F aab , \\
F \; & {\to} \; d_3 F baa , \\
F \; & {\to} \; c ,
\end{align*}
и язык L2, порождаемый грамматикой
\begin{align*}
J \; & {\to} \; d_1 J aa , \\
J \; & {\to} \; d_2 J bb , \\
J \; & {\to} \; d_3 J a , \\
J \; & {\to} \; c .
\end{align*}
Верно ли, что L_1 \cap L_2 = \{ c \} ?

Упражнение 16.1.8. Пусть \Sigma = \{ a, b, c, d_1, d_2, d_3 \} . Рассмотрим язык L1, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
F \; & {\to} \; d_1 F b , & F \; & {\to} \; d_1 c b , \\
F \; & {\to} \; d_2 F a , & F \; & {\to} \; d_2 c a , \\
F \; & {\to} \; d_3 F aba , & F \; & {\to} \; d_3 c aba ,
\end{align*}
и язык L_2 , порождаемый грамматикой
\begin{align*}
J \; & {\to} \; d_1 J , & J \; & {\to} \; d_1 c , \\
J \; & {\to} \; d_2 J aa , & J \; & {\to} \; d_2 c aa , \\
J \; & {\to} \; d_3 J b , & J \; & {\to} \; d_3 c b .
\end{align*}
Верно ли, что L_1 \cap L_2 = \varnothing ?

Упражнение 16.1.9. Пусть \Sigma = \{ a, b, c \} . Рассмотрим язык L1, порождаемый грамматикой

\begin{align*}
F \; & {\to} \; ba F a , & F \; & {\to} \; ba c a , \\
F \; & {\to} \; baa F aab , & F \; & {\to} \; baa c aab , \\
F \; & {\to} \; baaa F baa , & F \; & {\to} \; baaa c baa ,
\end{align*}
и язык L2, порождаемый грамматикой
\begin{align*}
J \; & {\to} \; ba J aa , & J \; & {\to} \; ba c aa , \\
J \; & {\to} \; baa J bb , & J \; & {\to} \; baa c bb , \\
J \; & {\to} \; baaa J a , & J \; & {\to} \; baaa c a .
\end{align*}
Верно ли, что L_1 \cap L_2 = \varnothing ?

< Лекция 16 || Лекция 17: 123
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?

Наталья Алмаева
Наталья Алмаева
Россия
Николай Щербаков
Николай Щербаков
Россия, Москва