Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1999 / 567 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00
ISBN: 978-5-9556-0062-8
Специальности: Математик
Лекция 5:

Дополнительные свойства автоматных языков

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >
Аннотация: В данной лекции доказывается замкнутость класса всех автоматных языков относительно взятия гомоморфного образа и относительно взятия полного гомоморфного прообраза, определяются понятия побуквенного гомоморфизма и локального языка. Приведены практические примеры и предоставлены упражнения для самостоятельного решения
Ключевые слова: ultimate

Эта лекция содержит дополнительные результаты, не используемые в дальнейшем изложении. В начале лекции доказывается замкнутость класса всех автоматных языков относительно взятия гомоморфного образа и относительно взятия полного гомоморфного прообраза.

В разделе 4.2* определяются понятия побуквенного гомоморфизма и локального языка и доказывается еще один критерий автоматности: среди языков, не содержащих пустого слова, автоматными являются в точности образы локальных языков при побуквенных гомоморфизмах.

В последнем разделе этой лекции устанавливается числовой критерий автоматности для языков над однобуквенным алфавитом (в терминах арифметических прогрессий) и доказывается связанное с длинами слов необходимое условие автоматности (для произвольного алфавита).

4.1. Гомоморфизмы и автоматные языки

Теорема 4.1.1. Для любого гомоморфизма h \colon \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* и автоматного языка L \subseteq \Sigma_1^* язык h(L) является автоматным.

Доказательство. Пусть исходный язык L задан конечным автоматом M = \langle Q , \Sigma_1 , \Delta , I , F \rangle. Положим

\Delta' = \{ \langle p , h ( x ) , q \rangle \mid
\langle p , x , q \rangle \in \Delta \} .
Тогда язык h(L) распознается конечным автоматом \langle Q , \Sigma_2 , \Delta' , I , F \rangle.

Теорема 4.1.2. Для любого гомоморфизма h \colon \Sigma_1^* \to \Sigma_2^* и автоматного языка L \subseteq \Sigma_2^* язык h-1(L) является автоматным.

Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что исходный язык L задан конечным автоматом M = \langle Q , \Sigma_2 , \Delta , I , F \rangle, где \Delta не содержит переходов с метками длины больше единицы. Положим

\Delta' = 
 \{ \lp p , a , q \rp \mid
a \in \Sigma_1
\text{ и существует путь из } p \text{ в } q
\text{ с меткой } h ( a )
 \} .
Язык h-1(L) распознается конечным автоматом \langle Q , \Sigma_1 , \Delta' , I , F \rangle.

Упражнение 4.1.3. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a,b}, что язык \{ a^{|w|_b} \mid w \in L \} не является автоматным?}

Упражнение 4.1.4. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a,b}, что язык \{ w \in \{a,b\}^* \mid a^{|w|_a} \in L \} не является автоматным?}

Упражнение 4.1.5. Существует ли такой автоматный язык L над алфавитом {a,b}, что язык \{ w \in \{a,b\}^* \mid ( \exists x \in L )\, | x | = | w | \} не является автоматным?

< Лекция 4 || Лекция 5: 12 || Лекция 6 >
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?

Наталья Алмаева
Наталья Алмаева
Россия
Николай Щербаков
Николай Щербаков
Россия, Москва