Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2002 / 569 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00
ISBN: 978-5-9556-0062-8
Специальности: Математик
Лекция 15:

Алгоритмические проблемы

< Лекция 14 || Лекция 15: 12345 || Лекция 16 >

Упражнение 14.1.20. Рассмотрим детерминированную машину Тьюринга, изображенную на рисунке.

\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix {
  *=[o][F-]{1}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \ar  "1,2"  ^{b:b\dr}
& *=[o][F-]{2}
 \ar  "1,3"  ^{a:b\dr}
 \ar  "2,3"  _{b:b\dn}
& *=[o][F-]{3}
 \ar  "1,4"  ^{a:b\dr}
 \ar  "2,3"  ^{b:b\dn}
& *=[o][F-]{4}
 \ar  "1,5"  ^{a:b\dr}
 \ar  "2,3"  ^{b:b\dn}
& *=[o][F-]{5}
 \rloop{0,1} ^{a:b\dr}
 \ar  "2,5"  ^{b:b\dn}
\\
  %
& 
& *=[o][F=]{6}
& 
& *=[o][F=]{7}
}
Какую функцию из \mathbb{N} в \mathbb{N} она вычисляет?

Упражнение 14.1.21. Рассмотрим детерминированную машину Тьюринга, изображенную на рисунке.

\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix {
  %
& *=[o][F-]{6}
 \rloop{0,1} ^{b:b\dr}
 \ar  "1,3"  ^{a:a\dr}
& *=[o][F-]{7}
 \rloop{0,1} ^{a:a\dr}
 \ar  "2,3"  ^{b:a\dl}
& 
& *=[o][F-]{1}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \ar  "1,6"  ^{b:a\dr}
& *=[o][F-]{2}
 \rloop{0,1} ^{a:a\dr}
 \ar  "1,7"  ^{b:b\dr}
& *=[o][F-]{3}
 \rloop{0,1} ^{a:b\dr}
 \ar @/^4mm/ "3,2"  ^{b:a\dl}
\\
  %
& 
& *=[o][F-]{8}
 \rloop{0,-1} ^{a:a\dl}
 \ar  "3,2"  _{b:b\dl}
& 
& 
& 
& 
\\
  *=[o][F-]{5}
 \ar  "1,2"  ^{a:a\dr}
 \ar  "4,2"  _{b:b\dr}
& *=[o][F-]{4}
 \rloop{0,-1} ^{b:b\dl}
 \ar  "3,1"  _{a:b\dl}
& 
& 
& *=[o][F-]{10}
 \ar  "4,7"  ^{b:a\dr}
& 
& 
\\
  %
& *=[o][F-]{9}
 \rloop{0,-1} ^{a:b\dl}
 \ar  "3,5"  ^{b:b\dr}
& *=[o][F-]{15}
 \rloop{0,-1} ^{a:a\dl}
 \ar  "4,5"  ^{b:a\dr}
& 
& *=[o][F-]{16}
 \rloop{0,1} ^{a:a\dr}
 \ar  "4,7"  ^{b:b\dr}
& 
& *=[o][F-]{11}
 \rloop{0,1} ^{b:b\dr}
 \ar  "5,6"  ^{a:a\dl}
\\
  %
& 
& 
& *=[o][F-]{14}
 \rloop{0,-1} ^{b:b\dl}
 \ar  "4,3"  ^(0.3){a:a\dl}
& *=[o][F-]{13}
 \ar  "5,4"  ^{b:b\dl}
 \ar  "6,4"  ^{a:b\dl}
& *=[o][F-]{12}
 \ar  "5,5"  ^{b:a\dl}
 \ar  "6,7"  ^(0.3){a:b\dr}
& 
\\
  %
& 
& 
& *=[o][F-]{17}
 \ar  "4,2"  ^{a:b\dl}
 \ar  "6,7"  ^{b:b\dr}
& 
& 
& *=[o][F-]{18}
 \rloop{0,1} ^{b:b\dr}
 \ar  "7,7"  ^{a:b\dn}
\\
  %
& 
& 
& 
& 
& 
& *=[o][F=]{19}
}
Какую функцию из \mathbb{N} \times \mathbb{N} в \mathbb{N} она вычисляет?

14.2. Разрешимые и перечислимые множества

Определение 14.2.1. Говорят, что детерминированная машина Тьюринга

\lalg Q , \Sigma , \Gamma , b_0 , \Delta ,
 \{ \qinitial \} , \{ \qaccept , \qreject \} \ralg
с выделенным состоянием qa разрешает (decides) язык L \subseteq \Sigma ^* , если

1) для каждого слова w \in L найдутся такие m \in \mathbb{N} и n \in \mathbb{N} , что \lp \varepsilon , \qinitial , b_0 , w \rp \overstar{\vdash} \lp b_0 ^m , \qaccept , b_0 , b_0 ^n \rp ;

2) для каждого слова w \in \Sigma ^* \sminus L найдутся такие m \in \mathbb{N} и n \in \mathbb{N} , что \lp \varepsilon , \qinitial , b_0 , w \rp \overstar{\vdash} \lp b_0 ^m , \qreject , b_0 , b_0 ^n \rp . Состояние qa называется допускающим ( принимающим, accept state), состояние qr называется отвергающим ( непринимающим, (reject state).

Пример 14.2.2. Рассмотрим детерминированную машину Тьюринга

M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , b_0 , \Delta ,
 \{ \qinitial \} , \{ \qaccept , \qreject \} \ralg ,
где Q = \{ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \} , \Sigma = \{ a \} , \Gamma = \{ a , b \} , b_0 = b , \qinitial = 0 , \qaccept = 4 , \qreject = 5 и
\begin{align*}
{}
\Delta &= \{
\lp \lp 0 , b \rp , \lp 1 , b , 1 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 1 , a \rp , \lp 2 , b , 1 \rp \rp ,\
\lp \lp 2 , a \rp , \lp 3 , b , 1 \rp \rp ,\
\lp \lp 3 , a \rp , \lp 1 , b , 1 \rp \rp ,\
\\ &\hphantom{ {} = {} \{ } %\}
\lp \lp 1 , b \rp , \lp 4 , b , 0 \rp \rp ,\
\lp \lp 2 , b \rp , \lp 5 , b , 0 \rp \rp ,\
\lp \lp 3 , b \rp , \lp 5 , b , 0 \rp \rp
\} .
\end{align*}
\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle
\xymatrix {
  *=[o][F-]{0}
 \ar @`{+/l16mm/} [] ^{}
 \ar  "1,2"  ^{b:b\dr}
& *=[o][F-]{1}
 \ar  "1,3"  ^{a:b\dr}
 \ar  "2,2"  ^{b:b\dn}
& *=[o][F-]{2}
 \ar  "1,4"  ^{a:b\dr}
 \ar  "2,4"  _{b:b\dn}
& *=[o][F-]{3}
 \ar `ul^l{+/u7mm/}`l^dl{[0,-2]}_{a:b\dr} "1,2"  
 \ar  "2,4"  ^{b:b\dn}
\\
  %
& *=[o][F=]{4}
& 
& *=[o][F=]{5}
}
Эта машина Тьюринга разрешает язык \{ a^{3n} \mid n \in \mathbb{N} \} .

Определение 14.2.3. Язык L над алфавитом \Sigma называется разрешимым или рекурсивным (decidable, recursive), если существует детерминированная машина Тьюринга

\lalg Q , \Sigma , \Gamma , b_0 , \Delta ,
 \{ \qinitial \} , \{ \qaccept , \qreject \} \ralg
(с выделенным состоянием qa ), которая разрешает язык L.

Определение 14.2.4. Говорят, что машина Тьюринга

M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , b_0 , \Delta ,
 \{ \qinitial \} , \{ \qaccept \} \ralg
допускает ( принимает, accepts) слово w \in \Sigma ^* , если для некоторых m \in \mathbb{N} и n \in \mathbb{N} \lp \varepsilon , \qinitial , b_0 , w \rp \overstar{\vdash} \lp b_0 ^m , \qaccept , b_0 , b_0 ^n \rp .

Определение 14.2.5. Язык, допускаемый машиной Тьюринга M, - это язык, состоящий из всех допускаемых данной машиной Тьюринга слов.

Определение 14.2.6. Язык называется перечислимым ( рекурсивно перечислимым, полуразрешимым, recursively enumerable), если существует детерминированная машина Тьюринга, допускающая этот язык.

Замечание 14.2.7. В определении 14.2.6 можно отбросить требование детерминированности машины Тьюринга.

Теорема 14.2.8. Каждый разрешимый язык является перечислимым.

Доказательство. Пусть дана машина Тьюринга

M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , b_0 , \Delta ,
 \{ \qinitial \} , \{ \qaccept , \qreject \} \ralg
с выделенным состоянием qa, которая разрешает язык L \subseteq \Sigma ^* . Тогда машина Тьюринга
M' \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , b_0 , \Delta ,
 \{ \qinitial \} , \{ \qaccept \} \ralg
допускает язык L.

Пример 14.2.9. Если в машине Тьюринга из примера 14.1.15 заменить переход \lp \lp 6 , a \rp , \lp 6 , a , -1 \rp \rp на \lp \lp 6 , a \rp , \lp 6 , b , -1 \rp \rp , то получится машина Тьюринга, допускающая язык \{ a^{n^2} \mid n \in \mathbb{N} \} . Следовательно, этот язык является перечислимым. Можно доказать, что он даже является разрешимым.

Теорема 14.2.10. Существует такая машина Тьюринга над однобуквенным алфавитом \Sigma = \{ a \} , что язык, допускаемый этой машиной Тьюринга, неразрешим.

Доказательство. Доказательство существования перечислимого неразрешимого множества можно найти, например, в [31, 9.2].

Упражнение 14.2.11. Найти детерминированную машину Тьюринга с входным алфавитом {a}, разрешающую язык \{ a^{n} \mid n \leq 2 \} .

Упражнение 14.2.12. Найти детерминированную машину Тьюринга с входным алфавитом {a}, допускающую язык \{ a^{3n+2} \mid n \geq 0 \}

< Лекция 14 || Лекция 15: 12345 || Лекция 16 >
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?

Наталья Алмаева
Наталья Алмаева
Россия
Николай Щербаков
Николай Щербаков
Россия, Москва