Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2002 / 569 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00
ISBN: 978-5-9556-0062-8
Специальности: Математик
Лекция 13:

Детерминированные контекстно-свободные языки

< Лекция 12 || Лекция 13: 12 || Лекция 14 >

12.2*. Свойства класса детерминированных языков

Теорема 12.2.1. Каждый автоматный язык является детерминированным контекстно-свободным языком.

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 2.7.1.

Лемма 12.2.2. Каждый детерминированный МП-автомат M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg эквивалентен некоторому детерминированному МП-автомату M' \peq \lalg Q' , \Sigma , \Gamma' , \Delta' , I' , F' \ralg , где для каждого перехода \lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta' выполняется неравенство | x | + | \beta | \leq 1 .

Доказательство. Пусть дан детерминированный МП-автомат M = \lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta
, I , F \ralg . Назовем избытком перехода

\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta
натуральное число \max (0 , | x | + | \beta | - 1 ) . Докажем лемму индукцией по сумме избытков всех переходов.

Шаг индукции. Пусть существует переход

\lp \lp p_0 , x_0 , \beta_0 \rp , \lp q_0 , \gamma_0 \rp \rp \in \Delta
с положительным избытком. Рассмотрим четыре случая.

Случай 1. \Delta \cap (( \{ p_0 \} \times \{ \varepsilon \} \times
\Gamma ^* ) \times ( Q \times \Gamma ^* )) = \varnothing . Обозначим первый символ слова x0 через a0. Преобразуем МП-автомат M в эквивалентный ему детерминированный МП-автомат с меньшей суммой избытков всех переходов. Для этого добавим новое состояние r и переход \lp \lp p_0 , a_0 , \varepsilon \rp ,
\lp r , \varepsilon \rp \rp . Каждый переход вида \lp \lp p_0 , a_0 x , \beta \rp ,
\lp q , \gamma \rp \rp заменим на переход \lp \lp r , x , \beta
\rp , \lp q , \gamma \rp \rp . К полученному таким образом детерминированному МП-автомату применимо предположение индукции.

Случай 2. \Delta \cap (( \{ p_0 \} \times \Sigma ^* \times \{
\varepsilon \} ) \times ( Q \times \Gamma ^* )) = \varnothing . Обозначим первый символ слова \beta_0 через C0. Преобразуем МП-автомат M в эквивалентный ему детерминированный МП-автомат с меньшей суммой избытков всех переходов. Для этого добавим новое состояние r и переход \lp \lp p_0 , \varepsilon , C_0 \rp ,
\lp r , \varepsilon \rp \rp . Каждый переход вида \lp \lp p_0 , x , C_0 \beta \rp ,
\lp q , \gamma \rp \rp заменим на переход \lp \lp r , x , \beta
\rp , \lp q , \gamma \rp \rp . К полученному таким образом детерминированному МП-автомату применимо предположение индукции.

Случай 3. Существует переход \lp \lp p_0 , \varepsilon , \varepsilon \rp ,
\lp q_1 , \gamma_1 \rp \rp \in \Delta . Тогда переходы \lp \lp p_0 , x_0 , \beta_0 \rp ,
\lp q_0 , \gamma_0 \rp \rp и \lp \lp p_0 , \varepsilon ,
\varepsilon \rp ,
\lp q_1 , \gamma_1 \rp \rp совместны. Противоречие.

Случай 4. Существуют переход \lp \lp p_0 , \varepsilon , \beta_1 \rp ,
\lp q_1 , \gamma_1 \rp \rp \in \Delta и переход \lp \lp p_0 , x_2
, \varepsilon \rp ,
\lp q_2 , \gamma_2 \rp \rp \in \Delta , где \beta_1 \neq \varepsilon и x_2 \neq \varepsilon. Тогда переходы \lp \lp p_0 , \varepsilon , \beta_1 \rp ,
\lp q_1 , \gamma_1 \rp \rp и \lp \lp p_0 , x_2 , \varepsilon \rp ,
\lp q_2 , \gamma_2 \rp \rp совместны. Противоречие.

Лемма 12.2.3. Каждый детерминированный МП-автомат M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg эквивалентен некоторому детерминированному МП-автомату M' \peq \lalg Q' , \Sigma , \Gamma' , \Delta' , I' , F' \ralg , где каждый переход \lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta' удовлетворяет условиям | x | + | \beta | \leq 1 и | \beta | + | \gamma | = 1 .

Доказательство. Сначала применим лемму 12.2.2, затем преобразуем МП-автомат так, чтобы для каждого перехода \lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp выполнялось неравенство | x | + | \beta | + | \gamma | \leq 1 (см. пример 10.2.4), и в заключение заменим каждый переход вида \lp \lp p , x , \varepsilon \rp , \lp q , \varepsilon \rp \rp на два последовательных перехода (см. пример 10.2.5).

Лемма 12.2.4. Пусть \eos \notin \Sigma , L \subseteq \Sigma ^* и язык L \cdot \{ \eos \} порождается некоторым детерминированным МП-автоматом. Тогда этот язык порождается также некоторым детерминированным МП-автоматом \lalg Q , \Sigma \cup \{ \eos \} , \Gamma , \Delta , I , F \ralg , где Q = Q_1 \cup Q_2 , Q_1 \cap Q_2 = \varnothing ,

\begin{align*}
& \Delta = \Delta_{11} \cup \Delta_{12} \cup \Delta_{22} ,\\
& \Delta_{11} \subseteq ( Q_1 \times \Sigma ^* \times \Gamma^* )
 \times ( Q_1 \times \Gamma^* ) ,\\
& \Delta_{12} \subseteq ( Q_1 \times \{ \eos \} \times \Gamma^* )
 \times ( Q_2 \times \Gamma^* ) ,\\
& \Delta_{22} \subseteq ( Q_2 \times \{ \varepsilon \} \times \Gamma^* )
 \times ( Q_2 \times \Gamma^* ) ,
\end{align*}
I \subseteq Q_1 , F \subseteq Q_2 и каждый переход
\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta
удовлетворяет условиям | x | + | \beta | \leq 1 и | \beta | + | \gamma | = 1 .

Доказательство. Применив лемму 12.2.3, получим детерминированный МП-автомат \lalg Q' , \Sigma \cup \{ \eos \} , \Gamma' , \Delta' ,
 I' , F' \ralg . Построим искомый МП-автомат \lalg Q , \Sigma \cup \{ \eos \} , \Gamma , \Delta , I , F \ralg , положив Q = Q' \times \{ 1 , 2 \} , Q_1 = Q' \times \{ 1 \} , Q_2 = Q' \times \{ 2 \} , \Gamma = \Gamma' , I = I' \times \{ 1 \} , F = F' \times \{ 2 \} ,

\begin{align*}
{}
& \Delta_{11} = \{
 \lp \lp \lp p , 1 \rp , x , \beta \rp ,
  \lp \lp q , 1 \rp , \gamma \rp \rp
 \mid
 \lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta'
 \commaand x \in \Sigma ^*
 \} , \\
& \Delta_{12} = \{
 \lp \lp \lp p , 1 \rp , \eos , \beta \rp ,
  \lp \lp q , 2 \rp , \gamma \rp \rp
 \mid
 \lp \lp p , \eos , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta'
 \} , \\
& \Delta_{22} = \{
 \lp \lp \lp p , 2 \rp , \varepsilon , \beta \rp ,
  \lp \lp q , 2 \rp , \gamma \rp \rp
 \mid
 \lp \lp p , \varepsilon , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta'
 \} .
\end{align*}

Теорема 12.2.5. Язык L \subseteq \Sigma ^* является детерминированным контекстно-свободным языком тогда и только тогда, когда найдется такой детерминированный МП-автомат M' \peq \lalg Q' , \Sigma , \Gamma' , \Delta' , I' , F' \ralg , что

L \squeeze{=} \{ w \squeeze{\in} \Sigma^* \squeeze{\mid}
 \lp s ,\! w ,\! \varepsilon \rp \squeeze{\overstar{\vdash}}
 \lp q ,\! \varepsilon ,\! \alpha \rp
 \mathspace\text{для некоторых}\mathspace
 s \squeeze{\in} I' ,\ \!
 q \squeeze{\in} F' \commaand \!
 \alpha \squeeze{\in}
 \Gamma ^{\prime *}
 \} .

Доказательство. Достаточность проверяется легко. Докажем необходимость. Рассмотрим МП-автомат

M = \lalg Q_1 \cup Q_2 , \Sigma \cup \{ \eos \} , \Gamma ,
 \Delta_{11} \cup \Delta_{12} \cup \Delta_{22} ,
 \{ \qinitial \} , F \ralg ,
о котором говорится в лемме 12.2.4.

Для любых \alpha \in \Gamma ^* и H \subseteq Q_2 введем обозначение

\Delta_{22} ^{-1} ( \alpha , H ) = \{ p \in Q_2 \mid
 \lp p , \varepsilon , \alpha \rp \overstar{\vdash}
 \lp q , \varepsilon , \varepsilon \rp
 \mathspace\text{для некоторого}\mathspace q \in H \} .
Очевидно, что \Delta_{22} ^{-1} ( \gamma , \Delta_{22} ^{-1} ( \alpha , H )) =
 \Delta_{22} ^{-1} ( \gamma \alpha , H ) для любых \alpha \in \Gamma ^* , \gamma \in \Gamma ^* и H \subseteq Q_2 .

Построим искомый МП-автомат \lalg Q' , \Sigma , \Gamma' , \Delta' , I' , F' \ralg , положив

\begin{align*}
 Q' &= Q_1 \times \powerset{ Q_2 } ,\\
 \Gamma' &= \Gamma \times \powerset{ Q_2 } ,\\
 I' &= \{ \qnew{ \qinitial }{ \Delta_{22} ^{-1} ( \varepsilon , F ) } \} ,\\
 F' &= \{ \qnew{ p }{ H }
 \mid
 \lp \lp p , \eos , \varepsilon \rp , \lp q , C \rp \rp \in \Delta_{12}
 ,\
 H \subseteq Q_2
 \commaand
 q \in \Delta_{22} ^{-1} ( C , H )
 \} ,\\
 \Delta' &= \{ \lp \lp \qnew{ p }{ H } , x , \gamnew{ C }{ K } \rp ,
 \lp \qnew{ q }{ K } , \varepsilon \rp \rp
 \mid
\\ &\myqquad \hphantom{ {} \cup{} \{ } %\}
 \lp \lp p , x , C \rp , \lp q , \varepsilon \rp \rp \in \Delta_{11} ,\
 H \subseteq Q_2 \commaand K \subseteq Q_2
 \} \cup
{}\\ &\myqquad \cup
 \{ \lp \lp \qnew{ p }{ H } , x , \varepsilon \rp ,
 \lp \qnew{ q }{ \Delta_{22} ^{-1} ( C , H ) } , \gamnew{ C }{ H } \rp \rp
 \mid
\\ &\myqquad \hphantom{ {} \cup{} \{ } %\}
 \lp \lp p , x , \varepsilon \rp , \lp q , C \rp \rp \in \Delta_{11}
 \commaand H \subseteq Q_2 \} .
\end{align*}
(Напоминаем, что через \powerset{ Q_2 } обозначается множество всех подмножеств множества Q2.)

Индукцией по количеству тактов работы можно доказать, что

\lp \qnew{ \qinitial }{ \Delta_{22} ^{-1} ( \varepsilon , F ) } ,
  w , \varepsilon \rp
 \overstar{\myunderset{ M' }{\vdash}}
 \lp \qnew{ q }{ H_0 } , \varepsilon ,
 \gamnew{ C_1 }{ H_1 } \gamnew{ C_2 }{ H_2 } \ldots \gamnew{ C_n }{ H_n }
 \rp
тогда и только тогда, когда
\lp \qinitial , w , \varepsilon \rp
 \overstar{\myunderset{ M }{\vdash}}
 \lp q , \varepsilon ,
 C_1 C_2 \ldots C_n
 \rp
и
H_k = \Delta_{22} ^{-1} ( C_{k+1} C_{k+2} \ldots C_n , F )
для каждого k \leq n .

Теорема 12.2.6. Пусть L - детерминированный контекстно-свободный язык. Тогда язык L не является существенно неоднозначным.

Доказательство. Пусть дан детерминированный контекстно-свободный язык L. Рассмотрим МП-автомат

M = \lalg Q_1 \cup Q_2 , \Sigma \cup \{ \eos \} , \Gamma ,
 \Delta_{11} \cup \Delta_{12} \cup \Delta_{22} ,
 \{ \qinitial \} , F \ralg ,
о котором говорится в лемме 12.2.4. Применив к этому МП-автомату конструкцию из доказательства теоремы 10.2.7, получим однозначную контекстно-свободную грамматику G, порождающую язык L \cdot \{ \eos \} . Стирая в этой грамматике все вхождения символа \eos , получим контекстно-свободную грамматику G', порождающую язык L.

Так как МП-автомат M не содержит переходов, ведущих из Q2 в Q1, а символ \eos встречается только на переходах, ведущих из Q1 в Q2, то в каждом G' -выводе однозначно определяется правило, которому в G соответствует правило, содержащее \eos . Поэтому существует естественное однозначное соответствие между деревьями вывода в грамматике G' и деревьями вывода в грамматике G (при этом кроны соответствующих друг другу деревьев различаются только символом \eos ). Следовательно, грамматика G' тоже является однозначной.

Теорема 12.2.7. Дополнение каждого детерминированного контекстно-свободного языка является детерминированным контекстно-свободным языком.

Доказательство можно найти в [7, c. 110-116] или [2, c. 212-217].

Пример 12.2.8. Язык L = \{ a^k b^m c^n \mid k \neq m \rusor m \neq n \} над алфавитом {a,b,c} не является детерминированным контекстно-свободным языком, так как его дополнение не является контекстно-свободным.

Теорема 12.2.9. Неверно, что для любых детерминированных контекстно-свободных языков L1 и L2 язык L_1 \cap L_2 тоже является детерминированным контекстно-свободным языком.

Доказательство. Достаточно рассмотреть детерминированные контекстно-свободные языки L1 и L2 из доказательства теоремы 9.5.1.

Теорема 12.2.10. Неверно, что для любых детерминированных контекстно-свободных языков L1 и L2 язык L_1 \cup L_2 тоже является детерминированным контекстно-свободным языком.

Доказательство. Утверждение следует из теорем 12.2.7 и 12.2.9 и закона де Моргана.

Упражнение 12.2.11. Является ли детерминированным контекстно-свободный язык \{ a^k b^m c^n \mid k < \max(m,n) \} ?

< Лекция 12 || Лекция 13: 12 || Лекция 14 >
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?

Наталья Алмаева
Наталья Алмаева
Россия
Николай Щербаков
Николай Щербаков
Россия, Москва