Математическая теория формальных языков
[+]
Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2487 / 1009 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00
ISBN: 978-5-9556-0062-8
Темы: Программирование, Алгоритмы и дискретные структуры, Математика
Специальности: Математик
Теги: beta, finite, grammar, xml, автоматы, анализ, булева формула, дерево вывода, контекстно-свободная грамматика, контекстно-свободный язык, метка перехода, моноид, нетерминальный символ, протоколы, регулярные выражения, теория, шаг индукции, элементы
Лекция 10:

Основные свойства контекстно-свободных языков
A
|
версия для печати
< Лекция 9 || Лекция 10: 123456 || Лекция 11 >

9.6. Пересечение контекстно-свободного языка с автоматным языком

Теорема 9.6.1. Если L1 - контекстно-свободный язык и L2 - автоматный язык, то язык L_1 \cap L_2 является контекстно-свободным.

Доказательство. Пусть \lalg N , \Sigma , P , S \ralg - контекстно-свободная грамматика, порождающая язык L1. Без ограничения общности можно считать, что множество P содержит только правила вида A \tto a и A \tto \alpha, где A \in N, a \in \Sigma и \alpha \in N ^* (см. теорему 8.3.3). Пусть \lalg Q , \Sigma , \Delta , I , F \ralg - конечный автомат, распознающий язык L_2. Без ограничения общности можно считать, что для каждого перехода \lp p , x , q \rp \in \Delta выполняется равенство |x| = 1 (см. лемму 2.3.3).

Построим контекстно-свободную грамматику \lp \overline N , \Sigma , \overline P , \overline S \rp, порождающую язык L_1 \cap L_2. Положим

\begin{align*} \overline N &= \{ \overline S \} \cup ( Q \times N \times Q ) , \\ \overline P &= \{ \overline S \tto \lp p , S , q \rp \mid p \in I \commaand q \in F \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ \lp p , A , q \rp \tto a \mid \lp p , a , q \rp \in \Delta \commaand ( A \tto a ) \in P \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ \lp p_0 , A , p_n \rp \tto \lp p_0 , B_1 , p_1 \rp \ldots \lp p_{n-1} , B_n , p_n \rp \mid {} \\ &\myqquad \hphantom{ {} \cup {} \{ } %\} ( A \tto B_1 \ldots B_n ) \in P ,\ p_0 \in Q , \ldots ,\ p_n \in Q \} , \end{align*}
где \overline S - новый символ (не принадлежащий множеству Q \times N \times Q ).

Пример 9.6.2. Пусть \Sigma = \{ a , b , c \}. Рассмотрим контекстно-свободный язык L1, порождаемый грамматикой

\begin{align*} S \; & {\to} \; a , \\ S \; & {\to} \; b S , \\ S \; & {\to} \; c S S , \end{align*}
и автоматный язык L2, распознаваемый конечным автоматом M \peq \lalg Q , \Sigma , \Delta , I , F \ralg, где Q = {1,2}, I = {1}, F = {2},
\Delta = \{ \lp 1 , a , 2 \rp ,\ \lp 1 , c , 2 \rp ,\ \lp 2 , a , 1 \rp ,\ \lp 2 , b , 1 \rp \} .
\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar `ur_r{+/u7mm/}`r_dr{[0,2]}^{c} "1,3" \ar "1,3" <0.6mm> ^{a} & & *=[o][F=]{2} \ar "1,1" <0.6mm> ^{a} \ar `dl_l{+/d7mm/}`l_ul{[0,-2]}^{b} "1,1" }
Тогда язык L_1 \cap L_2 порождается контекстно-свободной грамматикой
\begin{align*} \overline S \; & {\to} \; S_{12} , & S_{11} \; & {\to} \; c S_{21} S_{11} , \\ S_{12} \; & {\to} \; a , & S_{11} \; & {\to} \; c S_{22} S_{21} , \\ S_{21} \; & {\to} \; a , & S_{12} \; & {\to} \; c S_{21} S_{12} , \\ S_{21} \; & {\to} \; b S_{11} , & S_{12} \; & {\to} \; c S_{22} S_{22} . \\ S_{22} \; & {\to} \; b S_{12} , \end{align*}
Здесь S11, S12, S21 и S22 соответствуют символам \lp 1 , S , 1 \rp, \lp 1 , S , 2 \rp, \lp 2 , S , 1 \rp и \lp 2 , S , 2 \rp из доказательства теоремы 9.6.1.

Теорема 9.6.3*. Если L1 - линейный язык и L2 - автоматный язык, то язык L_1 \cap L_2 является линейным.

Пример 9.6.4*. Пусть \Sigma = \{ a , b \}. Рассмотрим линейный язык L1, порождаемый грамматикой

\begin{align*} S \; & {\to} \; aaSaa , \\ S \; & {\to} \; bSb , \\ S \; & {\to} \; \varepsilon , \end{align*}
и автоматный язык L2, распознаваемый конечным автоматом M \peq \lalg Q , \Sigma , \Delta , I , F \ralg, где Q = {1,2,3}, I = {1}, F = {3},
\Delta = \{ \lp 1 , a , 1 \rp ,\ \lp 1 , b , 1 \rp ,\ \lp 1 , a , 2 \rp ,\ \lp 2 , b , 3 \rp ,\ \lp 3 , a , 3 \rp ,\ \lp 3 , b , 3 \rp \} .
\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{a} \rloop{0,-1} ^{b} \ar "1,2" ^{a} & *=[o][F-]{2} \ar "1,3" ^{b} & *=[o][F=]{3} \rloop{0,1} ^{a} \rloop{0,-1} ^{b} }
Тогда язык L_1 \cap L_2 порождается контекстно-свободной грамматикой
\begin{align*} \overline S \; & {\to} \; S_{13} , & S_{11} \; & {\to} \; b S_{11} b , \\ S_{11} \; & {\to} \; aa S_{11} aa , & S_{13} \; & {\to} \; b S_{13} b , \\ S_{12} \; & {\to} \; aa S_{11} aa , & S_{13} \; & {\to} \; b S_{12} b , \\ S_{13} \; & {\to} \; aa S_{13} aa , & S_{23} \; & {\to} \; b S_{33} b , \\ S_{13} \; & {\to} \; aa S_{23} aa , & S_{33} \; & {\to} \; b S_{33} b , \\ S_{33} \; & {\to} \; aa S_{33} aa , & S_{11} \; & {\to} \; \varepsilon , \\ & & S_{33} \; & {\to} \; \varepsilon . \end{align*}
Эту грамматику можно упростить, заменив S11 и S33 на один символ.

Упражнение 9.6.5. Найти контекстно-свободную грамматику для языка L_1 \cap L_2, где L1 порождается грамматикой

\begin{align*} F \; & {\to} \; a F a , \\ F \; & {\to} \; b F b , \\ F \; & {\to} \; \varepsilon , \end{align*}
а язык L2 порождается грамматикой
\begin{align*} K \; & {\to} \; a M , & M \; & {\to} \; a K , \\ K \; & {\to} \; b K , & M \; & {\to} \; b K , \\ & & M \; & {\to} \; \varepsilon . \end{align*}

Упражнение 9.6.6. Найти контекстно-свободную грамматику для языка L_1 \cap L_2, где L1 порождается грамматикой

\begin{align*} F \; & {\to} \; a F a , \\ F \; & {\to} \; b F b , \\ F \; & {\to} \; \varepsilon , \end{align*}
а язык L2 порождается грамматикой
\begin{align*} K \; & {\to} \; a M , & M \; & {\to} \; a K , \\ K \; & {\to} \; b M , & K \; & {\to} \; \varepsilon . \\ K \; & {\to} \; b K , \end{align*}

Упражнение 9.6.7. Является ли контекстно-свободным язык \{ a^n b^n a^k b^n \mid n \geq 0 ,\ k \geq 0 \}

Упражнение 9.6.8. Является ли контекстно-свободным язык \{ (ab)^{n^2} \mid n \geq 0 \} \cup \{ aaw \mid w \in \{a,b\}^* \}

Упражнение 9.6.9. Существует ли над алфавитом {a,b} такой линейный язык L, что язык \{ ubv \mid u \in L ,\ uv \in L \} не является контекстно-свободным?

Дальше >>
< Лекция 9 || Лекция 10: 123456 || Лекция 11 >

Вопросы и ответы

вопросов: 3
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

ответить
Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?

ответить