НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 3: Конечные автоматы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2518 / 1036 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00

ISBN: 978-5-9556-0062-8

Темы: Программирование, Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Математик

Теги: beta, finite, grammar, xml, автоматы, анализ, булева формула, дерево вывода, контекстно-свободная грамматика, контекстно-свободный язык, метка перехода, моноид, нетерминальный символ, протоколы, регулярные выражения, теория, шаг индукции, элементы

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

2.6. Детерминированные конечные автоматы

Определение 2.6.1. Конечный автомат $\langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ называется детерминированным (deterministic), если

множество I содержит ровно один элемент;
для каждого перехода $\langle p , x , q \rangle \in \Delta$ выполняется равенство |x| = 1 ;
для любого символа $a \in \Sigma$ и для любого состояния $p \in Q$ существует не более одного состояния $q \in Q$ со свойством $\langle p , a , q \rangle \in \Delta$ .

Пример 2.6.2. Конечный автомат из примера 2.1.14 является детерминированным.

Определение 2.6.3. Детерминированный конечный автомат $M = \langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ называется полным (complete), если для каждого состояния $p \in Q$ и для каждого символа $a \in \Sigma$ найдется такое состояние $q \in Q$ , что $\langle p , a , q \rangle \in \Delta$ .

Пример 2.6.4. Конечный автомат из примера 2.1.14 эквивалентен полному детерминированному конечному автомату $\langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ , где Q = {1,2,3}, $\Sigma = \{ a , b \}$ , I = {1}, F = {1,2},

$\Delta = \{ \langle 1 , a , 2 \rangle ,\ \langle 1 , b , 3 \rangle ,\ \langle 2 , a , 3 \rangle ,\ \langle 2 , b , 1 \rangle ,\ \langle 3 , a , 3 \rangle ,\ \langle 3 , b , 3 \rangle \} .$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F=]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "1,2" <0.6mm> ^{a} \ar "2,2" _{b} & *=[o][F=]{2} \ar "1,1" <0.6mm> ^{b} \ar "2,2" ^{a} \\ % & *=[o][F-]{3} \rloop{1,0} ^{a} \rloop{0,-1} ^{b} }$

Замечание 2.6.5. Некоторые авторы используют в определении полного детерминированного конечного автомата вместо отношения $\Delta$ функцию $\delta \colon Q \times \Sigma \to Q$ . От функции $\delta$ можно перейти к отношению $\Delta$ , положив

$\Delta = \{ \langle p , a , \delta ( p , a ) \rangle \mid p \in Q , \; a \in \Sigma \} .$

Упражнение 2.6.6. Является ли детерминированным следующий конечный автомат?

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix @=1mm{ % & & *=[o][F-]{2} \ar "2,5" ^{b} \rloop{0,1} ^{a} \rloop{0,-1} _{b} & & \\ *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "1,3" ^{a} \ar "3,3" ^{b} & & & & *=[o][F=]{4} \\ % & & *=[o][F-]{3} \rloop{0,1} _{a} \rloop{0,-1} ^{b} \ar "2,5" ^{a} & & }$

Упражнение 2.6.7. Является ли полным следующий детерминированный конечный автомат с алфавитом $\Sigma = \{a,b,c\}$ ?

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F=]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{a} \rloop{0,-1} ^{b} \ar "1,2" ^{c} & *=[o][F-]{2} \rloop{0,1} ^{a} \rloop{0,-1} ^{b} \ar "1,3" ^{c} & *=[o][F=]{3} \rloop{0,1} ^{a} \rloop{0,-1} ^{b} \rloop{1,0} ^{c} }$

2.7. Преобразование конечного автомата к детерминированному виду

Теорема 2.7.1 Каждый автоматный язык распознается некоторым полным детерминированным конечным автоматом.

Доказательство. Без ограничения общности можно предположить, что исходный язык задан конечным автоматом $\langle Q , \Sigma , \Delta , I , F \rangle$ , содержащим только переходы с метками длины единица. Для любых $a \in \Sigma$ и $H \subseteq Q$ обозначим

$\Delta _ a ( H ) \rightleftharpoons \{ q \in Q \mid \langle p , a , q \rangle \in \Delta \mathspace\text{для некоторого}\mathspace p \in H \} .$

Обозначим через $\mathcal{P} ({ Q })$ множество всех подмножеств множества Q. Построим искомый полный детерминированный конечный автомат $\langle Q' , \Sigma , \Delta' , I' , F' \rangle$ , положив $Q' = \mathcal{P} ({ Q })$ ,

$\Delta' = \{ \langle H , a , \Delta _ a ( H ) \rangle \mid H \subseteq Q ,\; a \in \Sigma \} ,$

и $F' = \{ H \subseteq Q \mid H \cap F \neq \varnothing \}$ .

Пример 2.7.2. Пусть $\Sigma = \{ a , b \}$ . Рассмотрим конечный автомат $M = \langle \{ 1 , 2 , 3 \} , \Sigma , \Delta , \{ 1 \} , \{ 3 \} \rangle$ , где

$\Delta = \{ \langle 1 , a , 1 \rangle ,\ \langle 1 , b , 1 \rangle ,\ \langle 1 , a , 2 \rangle ,\ \langle 2 , b , 3 \rangle \} .$

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{a} \rloop{0,-1} ^{b} \ar "1,2" ^{a} & *=[o][F-]{2} \ar "1,3" ^{b} & *=[o][F=]{3} }$

Если применить конструкцию из доказательства теоремы 2.7.1. и затем удалить состояния, не достижимые из начального состояния, то получится полный детерминированный конечный автомат

$M' = \langle \{ \{ 1 \} , \{ 1 , 2 \} , \{ 1 , 3 \} \} , \Sigma , \Delta' , \{ \{ 1 \} \} , \{ \{ 1 , 3 \} \} \rangle ,$

где

$\begin{multiline*} \Delta' = \{ \langle \{ 1 \} , a , \{ 1 , 2 \} \rangle ,\ \langle \{ 1 \} , b , \{ 1 \} \rangle ,\ \langle \{ 1 , 2 \} , a , \{ 1 , 2 \} \rangle ,\ \\ \langle \{ 1 , 2 \} , b , \{ 1 , 3 \} \rangle ,\ \langle \{ 1 , 3 \} , a , \{ 1 , 2 \} \rangle ,\ \langle \{ 1 , 3 \} , b , \{ 1 \} \rangle \} . \end{multiline*}$

$\objectwidth={7.5mm} \objectheight={7.5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{0,1} ^{b} \ar "1,2" ^{a} & *=[o][F-]{1,2} \rloop{0,1} ^{a} \ar "2,2" <0.6mm> ^{b} \\ % & *=[o][F=]{1,3} \ar "1,2" <0.6mm> ^{a} \ar "1,1" ^{b} }$

Упражнение 2.7.3. Найти полный детерминированный конечный автомат, эквивалентный автомату, изображенному на диаграмме.

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "2,1" ^{ab} \\ *=[o][F=]{2} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \rloop{1,0} ^{a} }$

Упражнение 2.7.4. Найти детерминированный конечный автомат для языка, порождаемого грамматикой

$\begin{align*} S \; & {\to} \; a T , \\ S \; & {\to} \; a R , \\ T \; & {\to} \; b T , \\ T \; & {\to} \; \varepsilon , \\ R \; & {\to} \; a R , \\ R \; & {\to} \; \varepsilon . \end{align*}$

Упражнение 2.7.5. Найти детерминированный конечный автомат, распознающий язык $\{ a u b \mid u \in \{a,b\}^* \} \cup \{ b u a \mid u \in \{a,b\}^* \}$

Дальше >>

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Конечные автоматы

2.6. Детерминированные конечные автоматы

2.7. Преобразование конечного автомата к детерминированному виду

Вопросы и ответы