Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Донецкий национальный технический университет

Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3134 / 726 | Оценка: 4.34 / 4.12 | Длительность: 13:54:00

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 52 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Лекция 3: Математическое программирование. Линейное программирование. Виды задач линейного программирования. Постановка задач линейного программирования и исследование их структуры. Решение задач линейного программирования симплекс-методом

A

|

версия для печати

Задача о раскрое материалов. Пусть поступает в раскрой m различных материалов. Требуется изготовить из них k разных комплектующих изделий (комплектов) в количествах, пропорциональных величинам b₁, b₂, . , b_k (условия комплектности). Пусть каждую единицу j -го материала j=1, ., m можно раскроить n различными способами, так что при использовании i -го способа раскроя, i=1, ., n получим а_ij единиц k -го изделия. Нужно определить такой план раскроя материалов, обеспечивающий максимальное количество комплектов, если имеющийся запас j -го материала составляет а_j единиц.

Обозначим через x_ij количество единиц j -го материала, раскраиваемых i -м способом, а через x -общее количество изготавливаемых комплектов.

Математическая модель этой задачи имеет такой вид:

$\text{максимизировать} \; x$

( 3.8)

при условиях

$\sum_{i=1}^n x_{ij} \leq a_j,$

( 3.9)

$\sum_{j=1}^m x_{ij} a_{ij}^{(k)} = b_k x, \quad k=\overline{1, K}$

( 3.10)

Условие (3.9) означает ограничение на запас j -го материала, а (3.10) - условие комплектности.

Оптимальные балансовые модели. Рассмотрим n -отраслевую балансовую модель с постоянными технологическими коэффициентами, задаваемыми матрицей затрат A=||a_ij||, где a_ij затраты продуктов i -й отрасли на производство единицы продукции j -й отрасли. Производственные мощности i -й отрасли ограничивают ее валовой выпуск величиной d_i (i = 1, ...,n), и пусть цена конечного продукта i -й отрасли составляет c_i единиц.

Нужно определить оптимальный валовой выпуск продукции каждой отрасли, при котором будет достигнут максимальный суммарный выпуск конечного продукта в денежном выражении.

Обозначим вектор валовой продукции всех отраслей через x=[x1,.,xn], а вектор конечного продукта y=[y1,.,yn]. Тогда y_i - объем продукции i -й отрасли, идущего на накопление.

Между векторами x и y существует следующая связь:

x = Ax+y,

где Ax - продукт, расходуемый на потребление. Отсюда

y=x [E-А], x=[E-A]^-1y

Математическая модель этой задачи имеет вид

максимизировать c^Ty

при условиях

$x=[E-A]^{-1}y \leq d , \; y \geq 0;$

Кроме того, в этой задаче можно дополнительно использовать такие, например, ограничения на конечные продукты:

а) y1:y2:.:yn=b1:b2:.:bn -условие комплектности;

б) $d_i \geq y_i \geq b_i$ - условие ограниченности выпуска конечного продукта.

Форма записи задачи ЛП. Задачу линейного программирования можно сформулировать так:

$\text{максимизировать} \; \sum_{i=1}^n c_i x_i$

( 3.11)

при условиях

$& a_{11}x_1 + a_{12}x_2+ . +a_{1n}x_n \leq b_1 ; \\ & a_{21}x_1 + a_{22}x_2+ . +a_{2n}x_n \leq b_2 ; \\ & . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad \\ & a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2+ . +a_{mn}x_n \leq b_m ;$

( 3.12)

$x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, ., x_n \geq 0,$

( 3.13)

Ограничения (3.13) называют условиями неотрицательности переменных. В рассматриваемом случае все ограничения имеют вид неравенств.

Иногда они могут быть смешанными, то есть неравенства и равенства:

$& a_{11}x_1 + a_{12}x_2+ . +a_{1n}x_n \leq b_1 ; \\ & a_{21}x_1 + a_{22}x_2+ . +a_{2n}x_n \leq b_2 ; \\ & . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad \\ & a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2+ . +a_{mn}x_n \leq b_m ; \\ & a_{m+1,1}x_1 + a_{m+1,2}x_2+ . +a_{m+1,n}x_n = b_{m+1} ; \\ & a_{k1}x_1 + a_{k2}x_2+ . +a_{kn}x_n = b_k$

( 3.14)

Если все ограничения задачи ЛП имеют вид строгих равенств

$& a_{11}x_1 + a_{12}x_2+ . +a_{1n}x_n = b_1 ; \\ & a_{21}x_1 + a_{22}x_2+ . +a_{2n}x_n = b_2 ; \\ & . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad . \quad \\ & a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2+ . +a_{mn}x_n = b_m ;$

( 3.15)

то данная форма записи называется канонической.

В матричной форме задача ЛП записывается следующим образом:

$\text{максимизировать} \; c^T x$

( 3.16)

при ограничениях

$Ax \leq b; x \geq 0 ,$

( 3.17)

где А - матрица ограничений размером ( m x n ); b^(m*1) - вектор-столбец свободных членов; x^(n*1) - вектор переменных; с=[c1, c2,.,cn] -вектор (строка) коэффициентов целевой функции.

В векторной форме ограничения (3.14) записывают так:

$A_1 x_1 + A_2 x_2 + . + A-n x_n \leq b ,$