Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm
Определение целозначных многочленов и их основные свойства
11.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Многочлен от переменной
с рациональными
коэффициентами называется целозначным
если
для всех достаточно больших
.
Очевидно, что всякий многочлен с целыми коэффициентами является целозначным. В качестве примера целозначного многочлена, коэффициенты которого не являются целыми числами, рассмотрим многочлен
![]() |
( 11.1) |
![t\ge m > 0](/sites/default/files/tex_cache/4ee43ca630c0a3a52206d743c71354e7.png)
![t](/sites/default/files/tex_cache/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png)
![m](/sites/default/files/tex_cache/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png)
Иногда мы будем рассматривать выражение для
неположительных значений
, полагая
![]() |
( 11.2) |
![{\binom tm}_+ = \begin{cases} \binom tm & \text{если } t\ge 0\\0 &
\text{если }t<0.\end{cases}](/sites/default/files/tex_cache/1f58a52c56cceaf75b0e3d81a5bc8519.png)
![]() |
( 11.3) |
Следующее предложение дает некоторые соотношения между "биномиальными" целозначными многочленами, которые будут использоваться в дальнейшем.
11.2. ПРЕДЛОЖЕНИЕ.
Следующие соотношения выполняются для всех :
![]() |
( 11.4) |
![]() |
( 11.5) |
![]() |
( 11.6) |
![]() |
( 11.7) |
![]() |
( 11.8) |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Справедливость равенств (11.4) и (11.5) может быть легко
выведена из (11.3) индукцией по .
Прежде чем доказывать (11.6)-(11.8), заметим, что если
значения целозначных многочленов и
совпадают
для всех достаточно больших целых значений
, то
. Поэтому при доказательстве (11.6)-(11.8) мы
можем (и будем) предполагать, что
,
.
Сравнивая коэффициенты при в тождестве
, мы получим (11.6). Для
того, чтобы получить
(11.7), сначала докажем, что
![]() |
( 11.9) |
![k,n \in \N](/sites/default/files/tex_cache/0a82f4888a69d29a357315420033222f.png)
![\binom nk =
0](/sites/default/files/tex_cache/35512d1922609496f32c68813c44e960.png)
![k > n](/sites/default/files/tex_cache/bc6b8c3214113aa8dbf4b5754b2bf3c3.png)
![\binom ni\binom i{n-k}=\binom nk\binom k{i+k-n},](/sites/default/files/tex_cache/4b4388d62687267830cf3c40d1daa47a.png)
![\begin{align*}
\sum_{i=0}^n\binom ni\binom i{n-k}&=\sum_{i=0}^n\binom nk\binom k{i+k-n}=
\binom nk\sum_{i=n-k}^n\binom k{i-(n-k)}\\
&=\binom nk\sum_{j=0}^k\binom kj=\binom nk (1+1)^k=2^k\binom nk.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/27d3faa678c670de837ed5310ba00b22.png)
![\begin{align*}
\sum_{i=0}^n\binom ni\binom {t+i}n&=\sum_{i=0}^n\binom ni\sum_{k=0}^n
\binom tk\binom i{n-k}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom tk\sum_{i=0}^n\binom ni\binom i{n-k}
=\sum_{k=0}^n2^k\binom nk\binom tk.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/54857a21f14cb8085c9fc5ae71f7ad5e.png)
![\binom ni\binom ik=\binom nk\binom {n-k}{i-k}\quad ( n, k, i \in \N ),](/sites/default/files/tex_cache/b4063985f4ba81a95c5786b5c3b120ab.png)
![\begin{align*}
\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i&\binom ni\binom{t+i}i
=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom ni\sum_{k=0}^i\binom tk\binom i{i-k}\\
&=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom ni\sum_{k=0}^n\binom tk\binom ik\\
&=\sum_{k=0}^n\binom tk\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom ni\binom ik\\
&=\sum_{k=0}^n\binom tk\binom nk\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}2^i\binom
{n-k}{i-k}\\
&=\sum_{k=0}^n\binom nk\binom tk2^k\sum_{i=k}^n(-1)^{n-i}2^{i-k}\binom
{n-k}{n-i}\\
&=\sum_{k=0}^n2^k\binom nk\binom
tk\sum_{j=0}^{n-k}(-1)^{(n-k)-j}2^j\binom
{n-k}{n-k-j}\\
&=\sum_{k=0}^n2^k\binom nk\binom tk(2-1)^{n-k}=
\sum_{k=0}^n2^k\binom nk\binom tk.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/2a9b3d530921795867057bb0fbda27d1.png)
Заметим, что если - целозначный многочлен, то его
первая разность
и следующие разности
,
, \etc
также являются целозначными многочленами. В частности, из (11.3)
следует, что
![]() |
( 11.10) |
11.3. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть - целозначный многочлен степени
. Тогда
можно представить в виде
![]() |
( 11.11) |
![a_0,a_1,\dots,a_m](/sites/default/files/tex_cache/d47cae90ce2ffccf52148fb36b311b2a.png)
![f(t)](/sites/default/files/tex_cache/d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Разделив многочлен на
в кольце
, мы получим
, где
и
.
Разделив
на
(в
), мы получим
,
где
. Продолжая этот процесс, мы придем к выражению
![]() |
( 11.12) |
![a_0,a_1,\dots,a_m](/sites/default/files/tex_cache/d47cae90ce2ffccf52148fb36b311b2a.png)
![f(t)](/sites/default/files/tex_cache/d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png)
![a_i\in\mathbb Z](/sites/default/files/tex_cache/e300e5fdef10617e68b8e331c9c2b62e.png)
![(i=0,1,\dots,m)](/sites/default/files/tex_cache/22f34c7c90a480e4faad15f1aac6ea74.png)
![m=\textrm{deg}
f(t)](/sites/default/files/tex_cache/b3fe27f1bf8337e1835511a89f3c4b8f.png)
Если , то из целозначности многочлена
следует, что
. Предположим, что
и
существование и
однозначность представления (11.11) (с целыми коэффициентами
) доказана для всех целозначных
многочленов степени меньшей
. Рассматривая конечные разности
обеих частей (11.12) и используя (11.10), мы
получаем
![\Delta^kf(t) =\sum_{i=0}^{m-k}a_{i+k}\binom {t+i+k}i\quad(k=1,2,\dots,m)](/sites/default/files/tex_cache/f70b635709c41d938b6bcb9f0747cc01.png)
![\Delta^kf(t)](/sites/default/files/tex_cache/0d5766447797f07527a8e5010f16c346.png)
![\Delta^mf(t)= a_m\in \mathbb Z](/sites/default/files/tex_cache/e6f634922c741fde6ccfdd6bb456045f.png)
![f(t)- a_m\binom {t+m}m
=\sum\limits_{i=0}^{m-1}a_i\binom {t+i}i](/sites/default/files/tex_cache/414be0a3e52695a7f60ace9097e53eeb.png)
![m-1](/sites/default/files/tex_cache/4e3871ed52b5cdb1c75f85329fb472c5.png)
![a_0,a_1,\dots,a_{m-1}\in \mathbb Z](/sites/default/files/tex_cache/6c8998d0a87a2d37a5dd6eb828bece6a.png)
Из предложения 11.3, в
частности, следует, что старший коэффициент любого целозначного многочлена степени
равен
, следовательно,
можно представить в виде
![]() |
( 11.13) |
![o(t^m)](/sites/default/files/tex_cache/ce38c559e26b6d5790b63ef10706d873.png)
![m-1](/sites/default/files/tex_cache/4e3871ed52b5cdb1c75f85329fb472c5.png)
Кроме того, поскольку для любых
и
, из предложения 11.3 вытекает следующий
результат.
11.4. СЛЕДСТВИЕ.
Пусть - целозначный многочлен. Тогда
для всех
(не только достаточно
больших).
11.5. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть -
целозначный многочлен степени
и
. Тогда существует целозначный многочлен
со следующими
свойствами:
-
для всех
,
;
-
;
-
старший коэффициент многочлена
равен
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
По предложению 11.3 можно представить в виде
,
где
, и легко видеть, что
!.
Следовательно,
![f(s_0+1)+f(s_0+2)+\dots+f(s)=\sum_{i=0}^mb_i\sum_{k=0}^{s-s_0-1}\binom{s_0+1+i+k}i](/sites/default/files/tex_cache/2679b4d7ca762777fc4426f36e743679.png)
![s\in \mathbb Z](/sites/default/files/tex_cache/90550226a3f41e6e7d9949ce7cc5ed46.png)
![s>s_0](/sites/default/files/tex_cache/440fd411de70ef33b6ea694927761f31.png)
![\binom{s+i+1}{i+1}-\binom{s_0+i+1}{i+1}](/sites/default/files/tex_cache/95e4e8b2609fb7bb84e29ee1496ec2e0.png)
![\begin{align*}
\sum_{j=1}^{s-s_0}f(s_0+j)&=\sum_{i=0}^m b_i\left[
\binom{s+i+1}{i+1}-\binom{s_0+i+1}{i+1}\right]\\
&=\sum_{i=0}^mb_i\binom{s+i+1}{i+1}- A,
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/3515d91dbffcb34552aa639d4112220a.png)
![A=\sum\limits_{i=0}^mb_i\binom {s_0+i+1}{i+1}\in\mathbb Z](/sites/default/files/tex_cache/8335b817176d5a9212fb2a53915375c0.png)
![g(t)=\sum\limits_{i=0}^mb_i\binom{t+i+1}{i+1}-A](/sites/default/files/tex_cache/f7f823caf34da75668310b9fac90d7d0.png)
![m+1](/sites/default/files/tex_cache/c2ae2329632cc86715f8a4de7a056880.png)
![t^{m+1}](/sites/default/files/tex_cache/e92b03037e4d80c6925458e86316eb10.png)
![t^{m+1}](/sites/default/files/tex_cache/e92b03037e4d80c6925458e86316eb10.png)
![b_m\binom{t+m+1}{m+1}](/sites/default/files/tex_cache/ba745a487857de6c9983a6a61fca7d97.png)
![\frac{b_m}{(m+1)!}=\frac1{m+1}a_m](/sites/default/files/tex_cache/84153dc23fbf0fec25f685cef7f6ccc5.png)
В заключение этого параграфа мы дадим решение некоторых комбинаторных задач, тесно связанных с задачей вычисления дифференциальных и разностных размерностных многочленов.
Для любых целых
чисел и
,
,
пусть
обозначает число решений уравнения
![]() |
( 11.14) |
![x_i](/sites/default/files/tex_cache/1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.png)
![\mu(m,r)](/sites/default/files/tex_cache/a79185837985f3d408f2456ae0df9b29.png)
![x_i](/sites/default/files/tex_cache/1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.png)
![\bar\mu(m,r)](/sites/default/files/tex_cache/78669b7208dfe453965abe647bc7c6ab.png)
![x_i](/sites/default/files/tex_cache/1ba8aaab47179b3d3e24b0ccea9f4e30.png)
![]() |
( 11.15) |