Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm
12.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Многочлен , существование которого доказано в теореме
12.5, называется
"многочленом Гильберта" подмножества
.
12.7. ЗАМЕЧАНИЕ.
Из рассуждений, приведенных в начале доказательства теоремы 12.5, следует,
что размерностный многочлен множества равен
размерностному многочлену конечного множества
, состоящего из
всех минимальных элементов множества
.
Поэтому, чтобы уметь находить размерностные многочлены подмножеств
множества
, достаточно найти метод, вычисляющий размерностные
многочлены конечных подмножеств
, элементы которых
попарно несравнимы.
Поэтому в дальнейшем мы всегда будем иметь дело с конечными
множествами и записывать элементы этих множеств
в виде матрицы размера
со
строками
.
Эту матрицу будем обозначать той же буквой
. Под размерностным
многочленом
-матрицы
мы будем понимать
размерностный многочлен множества строк матрицы
(рассматриваемого
как подмножество множества
). В следующей теореме мы
формулируем
уже доказанные свойства размерностных многочленов подмножеств
множества
в форме свойств размерностных многочленов матриц.
Все элементы рассматриваемых матриц и векторов принадлежат
.
12.8. ТЕОРЕМА. Предположим, что -
-матрица и
- вектор. Тогда
- имеет место равенствогде
( 12.3) - матрица, полученная присоединением строки
к матрице
,
-
-матрица с элементами
,
,
, и
;
-
если
, то
где, и
- это
-матрица, такая, что
;
-
размерностный многочлен матрицы
не меняется при перестановке строк;
-
размерностный многочлен матрицы
не меняется при перестановке столбцов матрицы
;
- если
при
, то
, где матрица
получена из
удалением
-й строки (такую строку мы называем лишней );
-
тогда и только тогда, когда
содержит нулевую строку (в этом случае полагаем
);
-
если
непусто, т. е. содержит хотя бы одну строку, то
; размерностный многочлен "пустой" матрицы равен
;
-
если
содержит строку
, то
, где
- матрица, полученная из
удалением сначала строк, первая координата которых больше 0, а затем первого столбца (состоящего из нулей). В частности, если
содержит строку
и в первом столбце имеется нулевой элемент, то
;
-
если
и
, где
, то
где-
-матрица, полученная вычитанием вектора
из каждой строки матрицы
(в частности, каждый столбец матрицы H содержит 0 ).
Фиксируем -матрицу
со
строками
. Для
вычисления
можно применить соотношение (12.3),
выбирая строки матрицы
случайным образом; эта процедура приводит
к комбинаторной формуле (12.4),
дающей явное выражение для
.
Для более точной формулировки введем некоторые обозначения.
Пусть элементы множества
. Тогда элемент
, где
называется наименьшим общим кратным элементов
и
обозначается
.
Для любых
, таких, что
,
, обозначим через
множество
всех
-элементных подмножеств
множества
, и для любого
положим
. Далее,
обозначим
наименьшее общее кратное
элементов множества
(как и прежде, элементы
множества
сравниваются относительно порядка произведения
"
", если противное не оговорено явно).
Если
, то
;
если
, то, очевидно,
, где
.
Пусть
.
12.9. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. В обозначениях, введенных выше, следующее соотношение имеет место
![]() |
( 12.4) |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Воспользуемся индукцией по . Случай
следует из
теоремы 12.8.
Если , то по формуле (12.3) имеем
![\omega_E(t)=\omega_{E_1}(t)-\omega_H(t-r),](/sites/default/files/tex_cache/a90a5e1bc5ee08b1a835e1749dcfd6be.png)
![E_1](/sites/default/files/tex_cache/696de7240ea53e1220ef352d18e8a2cd.png)
![(n-1)\!\times\! m](/sites/default/files/tex_cache/6139746aa091b1f33ffcd54b67b04c68.png)
![E](/sites/default/files/tex_cache/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png)
![r=\sum\limits_{k=1}^me_{nk}](/sites/default/files/tex_cache/55c90deefd26601f3496c39b2e46fe06.png)
![H=(h_{ij})](/sites/default/files/tex_cache/ac05393206f8472de449da1ae729aaaf.png)
![h_{ij}=\max(e_{ij}-e_{nj},0)](/sites/default/files/tex_cache/ccfd49d4c36356554ddff6881bc4b51d.png)
![i=1,\dots,n-1](/sites/default/files/tex_cache/4b7dc373029a3749b9096b531d7ddf4f.png)
![j=1,\dots,m](/sites/default/files/tex_cache/0d66e857aa9252d6a8b315535559e204.png)
![\omega_{E_1}(t)=\sum_{l=0}^{n-1}(-1)^l\sum_{\xi\in
A(l,n-1)} \binom {t+m-|\textbf{e}_\xi|}m](/sites/default/files/tex_cache/b57069927dda7bd8eb9760928029cc4f.png)
![\omega_H(t-r)=\sum_{l=0}^{n-1}(-1)^l\sum_{\xi\in
A(l,n-1)}\binom {t+m-|g_\xi|}m,](/sites/default/files/tex_cache/f867d8e48abdafc0a63f90de2561c63b.png)
![\begin{align*}
|g_\xi|&=\sum_{k=1}^m\max_{i\in\xi}h_{ik}+ r
=\sum_{k=1}^m\left(\max_{i\in\xi}\max(e_{ik}-e_{nk},0)+e_{nk}\right)\\
&=\sum_{k=1}^m\max_{i\in\xi} (e_{ik},e_{nk}) =
|\textbf{e}_{\xi\cup n}|.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/9d8807689ead72fb8e19c64d9e41b6dc.png)
![\begin{align*}
\omega_E(t)={}&\sum_{l=0}^{n-1} (-1)^l \sum_{\xi\in A(l,n-1)}
\binom {t+m-|\textbf{e}_\xi|}m \notag \\
&+\sum_{l=0}^n (-1)^l \sum_{\xi\in A(l-1,n-1)}
\binom{t+m-|\textbf{e}_{\xi\cup n}|}m \notag \\
={}&\sum_{l=0}^n (-1)^l \sum_{\xi\in A(l,n)}
\binom {t+m-|\textbf{e}_\xi|}m. \tag*{\qedsymbol}
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/f4775ede83e2292cfab9f395f52e383a.png)
Предложение 12.9, в частности,
означает, что многочлен Гильберта
множества представляется в виде
![]() |
( 12.5) |