Интегрирование полиномов и рациональных функций. Некоторые сведения из дифференциальной алгебры. Структурная теорема

Интегрирование полиномов и рациональных функций

Для решения простейших дифференциальных уравнений вида

существует множество методов, которые применимы для функций из некоторых классов. При этом обычно недостаточно четко задается класс функций, в котором выбираются решения. Решение уравнения (22.1) определяется с точностью до произвольной константы и называется неопределенным интегралом или первообразной функции .

Прежде чем переходить к основной части данного раздела, напомним некоторые результаты математического анализа.

В этом разделе символом будем обозначать класс функций, к которому принадлежит функция из правой части уравнения (22.1), а символом - класс функций, в котором выбирается решение.

Прежде всего рассмотрим случай, когда - кольцо полиномов от одной переменной над некоторым кольцом характеристики 0. Предполагается, что мы умеем выполнять арифметические операции в поле , в частности, может совпадать с полем . В этом случае любое уравнение вида (22.1) имеет решение в этом же классе функций, и алгоритм его нахождения хорошо известен: если , то первообразная имеет вид , где - произвольная константа ( константа интегрирования )

Следующим по сложности идет случай, когда - поле рациональных функций от одной переменной. Для простоты будем считать, что поле коэффициентов совпадает с полем рациональных чисел . Если класс совпадает с , то решение уравнения (22.1) существует далеко не всегда. Однако можно класс несколько расширить, добавив к нему алгебраические числа и операцию логарифмирования полиномов. Полученный класс будем обозначать , и тогда любое уравнение вида (22.1), где , разрешимо в классе .

Напомним два метода решения уравнения (22.1) в этом случае.

I метод. Пусть . Предположим, что мы умеем находить разложение функции в сумму простейших дробей: . Проинтегрировать сумму почленно не представляет труда, пользуясь тем, что

Основная сложность этого метода приходится на нахождение полюсов функции , т.е корней ее знаменателя и разложение функции в сумму простейших дробей.

II метод. Как и прежде, предполагаем, что и что мы нашли все полюса функции на комплексной плоскости. Разложим в окрестности каждого полюса функцию в ряд Лорана, точнее, вычислим главную часть разложения, , где - порядок полюса в точке . Если - первообразная функции , то главная часть разложения функции в точке имеет вид

Функция не имеет особенностей в комплексной плоскости и является просто полиномом, степень которого равна . Для нахождения этого полинома можно также проинтегрировать главную часть разложения функции в точке .

При реализации обоих методов основная трудность состоит в нахождении полюсов функции . При этом приходится работать в алгебраическом расширении поля . Однако для записи ответа часто оказывается достаточным меньшее расширение поля , чем .

Читателю из курса анализа известно, что интегрирование рациональных функций с действительными коэффициентами осуществляется без алгебраического расширений поля констант (т. е. без использования комплексных чисел), а только с помощью логарифмов и арктангенсов рациональных функций. В действительности, в этих вычислениях неявно используются комплексные числа, поскольку арктангенсы выражаются через логарифмы с комплексными аргументами.

Вычисления в полях алгебраических чисел легко описываются теоретически, но при реализации на компьютере эти вычисления требуют весьма значительного времени счета и памяти для размещения результатов (особенно промежуточных). И время счета, и объем используемой памяти сильно зависят от степени расширения. В последнее время получены более эффективные алгоритмы интегрирования рациональных функций, позволяющие выполнять все вычисления, не прибегая к алгебраическим расширениям, большим чем то, которое требуется для записи ответа. Не рассматривая этот вопрос в полном объеме, приведем ниже метод Остроградского нахождения рациональной части интеграла рациональной функции.

Предположим, что рациональная функция представлена в виде суммы полинома и правильной дроби (т. е. отношения двух полиномов, в котором степень числителя меньше степени знаменателя) . Мы можем отдельно интегрировать полиномиальную и рациональную части функции . Интеграл от является полиномом, и его вычисление не представляет труда. Интеграл от представляется в виде суммы правильной дроби и логарифмической части интеграла. Логарифмическая часть получается от интегрирования правильных дробей, в знаменателе которых стоят неприводимые полиномы (в первой степени). Сумма таких дробей является правильной дробью, знаменатель которой свободен от квадратов и делит знаменатель исходной функции . Алгоритм нахождения описан в параграфе "Разложение на свободные от квадратов множители". Как легко следует из первого метода интегрирования, рациональная часть интеграла функции является правильной дробью, знаменатель которой получается из знаменателя функции делением его на . Числитель рациональной части однозначно определяется условиями: и - правильная рациональная дробь со знаменателем . Вычисление полинома осуществляется методом неопределенных коэффициентов.

Два изложенных выше метода интегрирования рациональных функций обобщаются на различные более общие классы функций. Для формулирования основных результатов нам понадобится ввести некоторые определения. В частности, выше было использовано обозначение , где - алгебраическое число. Ниже будет объяснено, что скрывается за этим обозначением.

Хотя проблематика интегрирования в конечном виде возникла из математического и функционального анализа, описание удобнее давать в терминах дифференциальной алгебры.