Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Интегрирование полиномов и рациональных функций. Некоторые сведения из дифференциальной алгебры. Структурная теорема
Предположим, что существует элементарная функция , такая, что . По теореме Лиувилля функция имеет вид , где -рациональная функция от , коэффициенты которой принадлежат полю , -полиномы от , которые можно считать неприводимыми, коэффициенты которых являются рациональными функциями от с алгебраическими (комплексными) коэффициентами. Пользуясь свойствами логарифмов, мы можем разбить сумму логарифмов на две части:
так, что в полиномы являются неприводимыми полиномами от со старшим коэффициентом 1, а в полиномы не зависят от .Пусть , где -полином от , а - правильная рациональная функция от . При дифференцировании по функции первое слагаемое дает регулярную часть (полином), второе и третье -правильные дроби от , а производная четвертого слагаемого не зависит от (является рациональной функцией от ). Поскольку в правой части равенства стоит полином от , этот полином (с точностью до свободного члена) должен сокращаться с .
Пусть , где - функции, зависящие от . Дифференцируя по , получаем
( 23.3) |
Для должны выполняться равенства , откуда . Мы предполагали, что , а это возможно только при , поскольку функция трансцендентна над .
Для получаем уравнение
( 23.4) |
Подставляя в (23.4), получаем для полиномиальной части уравнение , которое не имеет решений в кольце полиномов , поскольку при степень полинома в левой части равна .
Таким образом, уравнение (23.3) не имеет рациональных решений, а уравнение (23.2) -элементарных, т. е. функция вероятности ошибки не является элементарной.
23.16. ПРИМЕР. .
Введем обозначение . Тогда . Легко видеть, что элемент трансцендентен над .
Предположим, что -элементарная функция. По теореме Лиувилля она имеет вид . Без ограничения общности можно считать, что - неприводимые полиномы от со старшим коэффициентом 1 или (для одного значения ) рациональная функция от , не зависящая от . При дифференцировании по слагаемые вида дают либо правильную дробь от со знаменателем , либо рациональную функцию от , если не зависит от .
Пусть -неприводимый делитель полинома . После дифференцирования выражения в знаменателе появится полином , если делится на , а числитель останется взаимно простым с . Поскольку знаменатель правой части свободен от квадратов, отсюда вытекает, что .
Из того, что разложение правой части исходного уравнения в сумму простейших дробей содержит единственное слагаемое , и предположения, что различные полиномы взаимно просты, следует, что от зависит единственное слагаемое , т. е. , где - полином. Следовательно,
Поскольку элемент трансцендентен над , должно выполняться равенство , где - константа, что невозможно. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в элементарных функциях.
Алгоритм интегрирования трансцендентных функций известен как алгоритм Риша. В его основе лежит метод неопределенных коэффициентов. Искомая функция выражается в виде функции от с коэффициентами из поля , и после дифференцирования приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях равенства (22.1). Найденное таким образом решение будет решением исходного уравнения и в том случае, если функции не являются трансцендентными, но отсутствие решения означает неинтегрируемость только при трансцендентных функциях . Проверка трансцендентности элементов осуществляется на основе структурной теоремы.