Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1624 / 46 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00
ISBN: 978-5-9556-0099-4
Специальности: Программист, Математик
Лекция 3:

Наибольший общий делитель и последовательности полиномиальных остатков

Аннотация: В данной лекции рассматриваются вопросы, связанные с наибольшим общим делителем и последовательностями полиномиальных остатков. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

Наибольший общий делитель. Определения и алгоритмы вычисления

В данном параграфе мы рассмотрим определение наибольшего общего делителя (НОД) двух элементов и алгоритмы его вычисления.

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, a,b\in
R. Мы говорим, что a делит b и пишем a|b, если существует элемент c\in R, такой, что b=a\cdot c ; если такого элемента не существует, то мы говорим, что a не делит b, и пишем a\nmid b. Заметим, что определение делимости зависит от рассматриваемого кольца. Так, например, 2 \mid 3 в поле рациональных чисел \mathbb Q, но 2 \nmid 3 в кольце целых чисел \mathbb Z.

5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ненулевой элемент a \in  R такой, что ab = 0 для некоторого b \ne  0 называется делителем нуля кольца R, а элемент \varepsilon  \in  R, такой, что \varepsilon   | 1 называется обратимым, или делителем единицы, или единицей кольца R.

5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коммутативное кольцо с единицей и без де- лителей нуля называется областью целостности или просто областью.

5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей. Элемент a \in  R называется неприводимым, если из представления a = bc в виде произведения двух элементов кольца R, следует, что хотя бы один из элементов b и c обратим в R.

5.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть R — коммутативное кольцо с едини- цей. Идеал I\subset R называется простым, если из bc \in  I следует, что хотя бы один из элементов b и c лежит в I.

5.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мы говорим, что идеал I порожден элементами b1, . . . , bn, и пишем I = (b1, . . . , bn), если b_{1}, . . . , b_{n} \in  I и любой элемент b \in  I может быть записан в виде b=\sum\limits_{i=1}^nc_ib_i где c_{i} \in  R.

5.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Идеал I называется главным, если I = (b) для некоторого элемента b \in  I. Кольцо R называется кольцом главных идеалов, если любой идеал кольца R является главным.

5.7. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что Z и k[x] — кольца главных идеалов, а \mathbb Z[x] и k[x, y] — нет.

5.8. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что главный идеал (b) является простым тогда и только тогда, когда b — неприводимый элемент.

5.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементы a и b кольца R называются ассоциированными, если a = \varepsilon  \cdot b, где \varepsilonединица (обратимый элемент) кольца R.

5.10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Кольцо R называется факториальным или кольцом с однозначным разложением на множители, если любой элемент a \in  R можно представить в виде a = \varepsilon  \cdot p_{1} \cdot\cdot\cdot pn, где \varepsilonединица, а pi — неприводимые, причем если a = \varepsilon _{1} \cdot q_{1} \cdot\cdot\cdot q_{m} — другое такое разложение, то m = n и для любого индекса i существует индекс j, такой, что pi ассоциировано с qj.

5.11. ЛЕММА. Пусть Rобласть главных идеалов. Если элемент a \in  R допускает разложение на неприводимые множители, то это разложение однозначно в смысле предыдущего определения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО оставим читателю в качестве упражнения.

5.12. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что \mathbb Z[x] и k[x, y] — факториальные кольца.

Сформулируем (без доказательства) теорему, которая позволяет получать новые факториальные кольца.

5.13. ТЕОРЕМА. Если R — факториальное кольцо, то кольцо многочленов R[x] также факториально.

Приведем пример нефакториального кольца.

5.14. ПРИМЕР. Кольцо \mathbb Z [\sqrt{-5}] — нефакториально. В частности, 9=3\cdot3=(2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}) — два различных разложения числа 9 на неприводимые множители в этом кольце.

5.15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, a, b \in  R. Элемент d \in  R называется наибольшим общим делителем элементов a и b, если d | a, d | b и для любого другого элемента d', такого, что d' | a и d' | b выполняется соотношение d' | d.

5.16. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что в кольце \mathbb Z для любых целых чисел a и b, не равных одновременно нулю, существует наибольшее целое число, которое делит a и b, и это число является наибольших общим делителем чисел a и b в смысле определения 5.15. Показать, что определение 5.15 в кольце \mathbb Z определяет НОД( a, b ) неоднозначно.

5.17. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что в кольце k[x] многочленов от одной переменной x над полем k для любых многочленов a и b, не равных одновременно нулю, существует многочлен наибольшей степени, который делит a и b, и этот многочлен является наибольшим общим делителем элементов a и b в смысле определения 5.15. Показать, что определение 5.15 в кольце k[x] определяет НОД( a, b ) неоднозначно.

Свойства НОД(a,b) в Z.

  1. НОД(a, a) = {a,-a}
  2. НОД(a, 0) = {a,-a}
  3. НОД(a, b) = НОД(b, a)
  4. НОД(c · a, c · b) = c · НОД(a, b)
  5. если НОД(a, c) = {1,-1} (в частности, если c = -1 ), то НОД(a, c · b) = НОД(a, b)
  6. НОД(a, b) = НОД(a - b, b)
  7. НОД(a, b) = НОД(b, r), где r — остаток от деления a на b

Используя различные комбинации этих свойств, можно получить различные алгоритмы вычисления НОД(a, b) в кольце \mathbb Z. Пользуясь свойствами 3 и 5, можно свести задачу вычисления НОД в \mathbb Z к той же задаче для множества неотрицательных целых чисел и ограничиться представителем только положительного числа в качестве результата. Например, используя свойства 1, 3, 6, можно получить один из простейших алгоритмов вычисления НОД; используя свойства 1, 4, 5 с c = 2, получаем бинарный алгоритм вычисления НОД ; а используя свойства 2 и 7, получаем алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя натуральных чисел.

5.18. УПРАЖНЕНИЕ. Сформулировать перечисленные алгоритмы.

Евклидовы кольца.

Свойство 7 использует понятие "остаток от деления одного числа на другое" . На этом свойстве основан алгоритм Евклида, и распространение действия этого алгоритма на другие кольца достигается введением следующего определения.

5.19. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Область целостности R называется евклидовым кольцом, если каждому ненулевому элементу a \in  R сопоставлено целое неотрицательное число g(a) со следующими свойствами:

  1. если a \ne 0 и b \ne 0, то g(ab)\ge g(a) ;
  2. для любых двух элементов a,b \in R, где b \ne 0 существует представление a=qb+r, в котором r=0 или g(r)<g(b).

УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что следующие кольца являются евклидовыми:

  1. кольцо целых чисел \mathbb Z ;
  2. кольцо многочленов k[x] от одной переменной над любым полем k ;
  3. любое поле k.

В качестве упражнения читателю предлагается доказать следующую теорему.

5.21. ТЕОРЕМА. Любое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов, а следовательно, факториальным кольцом.

Марина Подлевских
Марина Подлевских

Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование?