Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm
11.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. В обозначениях, введенных выше,
![]() |
( 11.16) |
![]() |
( 11.17) |
![]() |
( 11.18) |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Прежде всего докажем равенство (11.17). Для этого поставим в
соответствие каждому решению уравнения
(11.14) упорядоченное множество из
нулей
и
единиц,
построенное следующим образом: берем
нулей, затем одну единицу,
затем
нулей и одну 1 и т. д. После последней единицы
берем
нулей. Легко видеть, что построенное соответствие взаимно
однозначно и
равно числу описанных выше множеств. С другой
стороны, это
число равно числу всех
-элементных подмножеств
множества
:
подмножество
соответствует упорядоченному множеству
нулей и единиц, в котором единицы находятся на
местах
. Следовательно,
.
Любое решение уравнения (11.14) в
положительных целых числах
соответствует решению
уравнения
,
где
. Обратно, каждое
решение
последнего уравнения
соответствует решению в положительных
целых числах
уравнения (11.14).
Следовательно,
![\mu^+(m,r)=\mu(m,r-m)=\binom{r-m+m-1}{m-1}=\binom
{r-1}{m-1}.](/sites/default/files/tex_cache/5b9751ff9e60ba7bafd0b66651eef181.png)
![r<m](/sites/default/files/tex_cache/7d298dec59d3f5758bdac5028e72ed84.png)
![\binom kl = 0](/sites/default/files/tex_cache/92cff0dc91cb3c9ed1335c5275e9ab30.png)
![k,l \in \mathbb N, k
< l](/sites/default/files/tex_cache/736436a73485d62e5d86a55bb00ea9dd.png)
Для доказательства равенства (11.18) заметим, что
число -наборов
, у которых
и все координаты
кроме
нулевые, равно
. Значит, число элементов
, у которых
и все координаты
кроме
нулевые, равно
. Таким образом, существует
элементов
,
таких что
и ровно
координат
вектора
отличны от
нуля
. Следовательно,
. Предложение доказано.
11.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ.
Пусть ,
,
. Обозначим через
,
число
решений
уравнения (11.14), таких,
что
, и
пусть
,
. Тогда
![]() |
( 11.19) |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Из определения следует, что это число равно
коэффициенту при
в
многочлене
.Действительно, каждое
решение
при
уравнения (11.14) находится во
взаимно однозначном соответствии с мономом
(с коэффициентом 1),
полученным разложением многочлена
, если в
-х
скобках мы возьмем
множитель
. Следовательно,
число таких мономов равно
.
Поскольку
,
имеем
. Кроме того, так
как
в кольце формальных
степенных рядов
(это равенство является непосредственным
следствием очевидного соотношения
), то
,где (в соответствии с
вышесказанным) коэффициент
равен числу
решений
уравнения
. Следовательно, (см. предложение 11.6),
, так что
.
Это соотношение показывает, что коэффициент при
в многочлене
![P(t)=t^R\left\{ \sum\limits_{l=0}^\infty\binom {m+l-1}{m-1}t^l\right\} \prod\limits_{j=1}^m
(1-t^{d_j}) \\
= \left\{ \sum\limits_{l=R}^\infty\binom
{\thickmuskip=0mu\thinmuskip=0mu\medmuskip=0mu
m+l-R-1}{m-1}t^l\right\} \cdot
\left\{ 1+\sum\limits_{k=1}^m(-1)^k\!\!\!\!\sum\limits_{1\le j_1<\dots<j_k\le m}\!\!\!\!
t^{d_{j_1}+\dots+d_{j_k}}\right\}](/sites/default/files/tex_cache/f96ee1428b47287d5288fc4f9c79ba60.png)
![\begin{multiline*}
\binom {m+r-R-1}{m-1}\\
+\sum\limits_{k=1}^m(-1)^k\sum\limits_{\substack{
1\le j_1<\dots<j_k\le m\\d_{j_1}+\dots+d_{j_k}\le r-R}}
\binom {m+r-R-d_{j_1}-\dots-d_{j_k}-1}{m-1}
\end{multiline*}](/sites/default/files/tex_cache/e1705aecfd637369607ced79a68a20a4.png)
Обозначим
через и
соответственно число
решений
неравенства
![]() |
( 11.20) |
![(x_1,\dots,x_m) \in \mathbb Z^m](/sites/default/files/tex_cache/172bb3741a5e3e6021cc38fcf0c9d3d0.png)
![]() |
( 11.21) |
![(m,r \in \mathbb N;\ m>0)](/sites/default/files/tex_cache/bae431677fdd6b3b214a1deebc7e4d4f.png)
11.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Во введенных выше обозначениях
![]() |
( 11.22) |
![]() |
( 11.23) |
![\rho(m,r) =\sum_{k=0}^r\mu(m,k)=\sum_{k=0}^r\binom
{m+k-1}{m-1}=\sum_{k=0}^r\binom {m+k-1}k,](/sites/default/files/tex_cache/d279ce728258d8de08d445c3653663d1.png)
![t=m-1](/sites/default/files/tex_cache/fc069975bdc36989f9c194d14e201094.png)
![n=r](/sites/default/files/tex_cache/ecf1b0cc5119ac700d410e90589d1fb5.png)
![\rho(m,r)
= \binom {m-1+r+1}r=\binom
{r+m}m](/sites/default/files/tex_cache/69252cad5d9bb19edbf51c9f494498b2.png)
Чтобы доказать (11.23), воспользуемся формулой (11.18):
![\begin{align*}
\bar\rho(m,r) =&\sum_{k=0}^r\bar\mu(m,k)
=\sum_{k=0}^r\sum_{i=0}^m2^i\binom mi\binom{k-1}{i-1}\\
=&\sum_{i=0}^m2^i\binom mi\sum_{k=0}^r\binom{k-1}{i-1}.
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/f149bb0c011ba9469c5315fcb231f1ef.png)
![\binom {k-1}{i-1}= 0](/sites/default/files/tex_cache/95dcba97af44a6b31e868164f3ef69d7.png)
![k<i](/sites/default/files/tex_cache/514b8098ef32ea608644167e35c31e06.png)
![\begin{align*}
\sum_{k=0}^r\binom {k-1}{i-1}
&=\sum_{k=i}^r\binom {k-1}{i-1}=\sum_{q=0}^{r-i}\binom {q+i-1}{i-1}\\
&=\sum_{q=0}^{r-i}\binom{i-1+q}q=\binom{i-1+r-i+1}{r-i}=\binom ri
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/d7eeca1fa08d495c829e09a4ba646110.png)
![\bar\rho(m,r)
=\sum\limits_{i=0}^m2^i\binom
mi\binom ri](/sites/default/files/tex_cache/31d3aaf0227ae7bb399651abf3820162.png)