НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 6: Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Доступ: свободный | Студентов: 1645 / 60 | Оценка: 4.56 / 3.67 | Длительность: 30:07:00

ISBN: 978-5-9556-0099-4

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Программист, Математик

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

13.14. ЛЕММА. Пусть

$E=\begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} & 0 & \hdots & 0 \\ e_{21} & e_{22} & 0 & \hdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ e_{n1} & e_{n2} & 0 & \hdots & 0 \end{pmatrix}$

- нормализованная $n\!\times\! m$ -матрица над $\mathbb N\ (m\geq 2)$ . Предположим, что $0 = e_{11}< e_{21}<\dots< e_{n1}$ и $e_{12}> e_{22}>\dots> e_{n2}= 0$ . Тогда

$\begin{equation} \omega_E(t)=\sum_{i=1}^{n-1}\Delta_{(e_{i+1,1}-e_{i1})} \Delta^{-1}\omega_{\textbf{e}_i}(t-e_{i1}), \end{equation}$

( 13.11)

где $\textbf{e}_i= (e_{i2},0,\dots,0) \in \mathbb N^{m-1}\ (i=1,\dots,n-1)$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся индукцией по . Случай n=1 тривиален. Пусть n>1 , и предположим, что утверждение леммы доказано для всех матриц, число строк которых меньше . Для доказательства соотношения (13.11) для $n\!\times\! m$ -матрицы $E = (e_{ij})_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$ , у которой $e_{ij}=0$ $(1\leq i\leq n$ , $3\leq j\leq m)$ , прежде всего заметим, что если $a=\min_{1\leq i\leq n} \left( e_{i1} \mid e_{i1}\neq0\right) =e_{21}$ , то

$\omega_E(t) = \Delta_a\Delta^{-1} \omega_{E_1}(t)+\omega_H(t-a),$

где $E_1 = (e_{12},0,\dots,0) \in \mathbb N^{m-1}$ и

$H=\begin{pmatrix} 0 & e_{12} & 0 & \hdots & 0 \\ 0 & e_{22} & 0 & \hdots & 0 \\ e_{31}-e_{21} & e_{32} & 0 & \hdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ e_{n1}-e_{21} & e_{n2} & 0 & \hdots & 0 \end{pmatrix}$

(см. лемму 13.10). Первая строка матрицы

является лишней, следовательно, $\omega_H=\omega_{H_1$ , где

$H_1=\begin{pmatrix} 0 & e_{22} & 0 & \hdots & 0 \\ e_{31}-e_{21} & e_{32} & 0 & \hdots & 0 \\ \vdots & \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ e_{n1}-e_{21} & e_{n2} & 0 & \hdots & 0 \end{pmatrix}.$

По предположению индукции имеем

$\omega_H(t) = \omega_{H_1}=\sum_{i=2}^{n-1} \Delta_{(e_{i+1,1}-e_{i1})} \Delta^{-1} \omega_{ \textbf{e}_i}(t-e_{i1}),$

следовательно,

$\begin{align*} \omega_E(t) &= \Delta_{e_{21}} \Delta^{-1}\omega_{E_1}(t) +\sum_{i=2}^{n-1}\Delta_{(e_{i+1,1}-e_{i1})}\Delta^{-1}\omega_{\textbf{e}_i}(t-e_{i1})\ &=\smash{\sum_{i=1}^{n-1}}\Delta_{(e_{i+1,1}-e_{i1})}\Delta^{-1}\omega_{\textbf{e}_i}(t-e_{i1}). \tag*\qedsymbol \end{align*}$

13.15. СЛЕДСТВИЕ. Пусть

$E=\begin{pmatrix} e_{11} & e_{12} \\ e_{21} & e_{22} \\ \vdots & \vdots \\ e_{n1} & e_{n2} \end{pmatrix}$

- $n\!\times\! 2$ -матрица над $\mathbb N$ , такая, что $0 = e_{11}< e_{21}< \dots < e_{n1}$ , $e_{12}> e_{22}>\dots> e_{n2}= 0$ . Тогда

$\begin{equation} \omega_E(t)=\sum_{i=1}^{n-1}(e_{i+1,1}-e_{i1}) e_{i2}. \ \end{equation}$

( 13.12)

А13. АЛГОРИТМ $(E, n,m, \omega)$ .

$\begin{equation}\\ \text{Дано: \quad $n\in\mathbb N;\ m\in\mathbb N$; $n\!\times\!m$-матрица $E$. }\\ \text{Надо:\qquad $\omega_E(t)$- многочлен Гильберта матрицы $E$.}\\ \text{Переменные: $P_0, P_1$- многочлены;}\\ \text{\qquad $N_S$- текущее значение первой координаты;}\\ \text{\qquad $N_R$- следующее значение первой координаты;}\\ \text{\qquad $E_0$- последовательность $(m-1)$-мерных векторов.}\\ \text{Начало}\\ \text{$\omega(t):=0$}\\ \text{если $n=0$ тоесли $n=0$ то $\omega(t):=\binom {t+m}m$}\\ \text{иначе $\textbf{v}:=(v_1,\dots,v_m)$, \ где $v_j =\min_{1\leq i\leq n} \{e_{ij}\}\ (j=1,\dots,m)$}\\ \text{ \qquad $E := (e_{ij}-v_j)_{\substack{1\leq i\leq n\\ 1\leq j\leq m}}$}\\ \text{\qquad $K :=$ \{индексы ненулевых столбцов матрицы $E$\}}\\ \text{\qquad выбор}\\ \text{\qquad $\Card K=2$, $K=\{ j,p\} \implies$ сортировать строки по возрастанию $j$-го столбца}\\ \text{\qquad \qquad удалить лишние строки }\\ \text{$\omega:=\omega(t)+\sum\limits_{i=1}^{n-1}\Delta_{(e_{i+1,j}-e_{ij})}\Delta^{-1}\omega_{\textbf{e}_i}(t-e_{ij})$,}\\ \text{\qquad \qquad \qquad где $\textbf{e}_i=(e_{ip},0,\dots,0)\in\mathbb N^{m-1}$}\\ \text{\qquad $\Card K>2 \Rightarrow$ взять $k \in K$}\\ \text{\qquad \qquad переставить $k$-й столбец с первым}\\ \text{\qquad \qquad $N_S := 0$}\\ \text{\qquad \qquad $E_0 := \emptyset$}\\ \text{\qquad \qquad цикл для каждого ненулевого $e_{i1}$ в возрастающем порядке}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $N_R := e_{i1}$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $E_0$: добавить последовательность строк}\\ \text{\qquad \qquad \qquad \qquad $\{ (e_{j2},\dots,e_{jm})|e_{j1}= N_S\}$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $N_0 :=$ число векторов в $E_0$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad Алгоритм A13 $(E_0,N_0,m-1,P_0(t))$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $P_0(t):=\Delta_{(N_R-N_S)}\Delta^{-1}P_0(t)$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $\omega(t):=\omega(t)+P_0(t-N_S)$}\\ \text{\qquad \qquad \qquad $N_S:=N_R$}\\ \text{\qquad \qquad конец цикла}\\ \text{\qquad \qquad $E$: обнулить первый столбец}\\ \text{\qquad \qquad Алгоритм A13 $(E,n,m,P_1(t))$}\\ \text{\qquad \qquad $\omega(t):=\omega(t)+P_1(t-N_S)$}\\ \text{\qquad конец выбора}\\ \text{\qquad $\omega(t):=\omega(t-|\textbf{v}|)+\binom{t+m}m-\binom{t+m-|\textbf{v}|}m$}\\ \text{конец если}\\ Конец \end{equation}$

Приведенный здесь алгоритм A13 вычисления многочлена Гильберта $\omega_E(t)$ для $n\!\times\!m$ -матрицы основан на данной выше схеме. В соответствии с ней, воспользуемся (13.8), чтобы представить многочлен $\omega_E(t)$ в виде суммы многочленов Гильберта матриц, которые содержат менее столбцов, и многочлена Гильберта $n\!\times\!m$ -матрицы , содержащей не более двух ненулевых столбцов (без потери общности можно считать, что ненулевыми являются два первых столбца матрицы ). Многочлен $\omega_{E'}(t)$ вычисляется с помощью соотношения (13.10). Сначала переупорядочим строки так, чтобы элементы первого столбца удовлетворяли условию леммы 13.14 (такое переупорядочение требует $\sim n\log n$ элементарных операций). Тогда видно, что если второй ненулевой столбец не упорядочен в обратном порядке, то матрица содержит лишние строки (в точности те строки $\textbf{e}_i \ (1\leq i\leq n)$ , в которых $e_{12}\geq e_{j2}$ для некоторого $j \in \mathbb N,\ 1\leq j<i$ ). Таким образом, получаем следующую оценку числа f(n,m) элементарных операций, которые требуются для вычисления многочлена Гильберта $\omega_E(t)$ для $n\!\times\! m$ -матрицы с помощью алгоритма A13:

$\begin{align*} f(n,m)&\leq n\log n+f(n,m-1)+\sum_{i=1}^kf(b_i,m-1)\\ &\leq n\log n+nf(n,m-1) \end{align*}$

где $1\leq k<n;\ b_1,\dots,b_k \in \N$ ; $1\leq b_i\leq n$ $(i=1,\dots,k)$ . Следовательно, алгоритм A13 имеет асимптотическую сложность $\sim n^{m-1 \log n$ при $m\geq 2$ (если m=1

, то асимптотическая сложность $\sim n$ ).

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Алгоритмы вычисления размерностных многочленов

Вопросы и ответы