Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Алгоритмы вычисления размерностных многочленов
13.1. ЛЕММА. Пусть дана -матрица
Предположим, что элемент мажорирует все строки этой матрицы, т. е. больше любой строки матрицы или равен ей (относительно порядка произведений на ). Тогда , где - матрица с элементами .ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть , и ( и обозначают -е строки матриц и соответственно). Покажем, что равенство эквивалентно равенству . Действительно, если , то , так что для каждого существует индекс , такой, что . Таким образом, -й элемент строки равен 1, следовательно, . Обратно, если , то для каждого существует число , такое, что , т. е. . Поэтому, , следовательно, (так как элемент больше любой строки матрицы или равен ей). Таким образом,
Рассмотрим свойства размерностных многочленов матриц, состоящих из 0 и 1 (такова, например, матрица в лемме 13.1). Длякраткости будем писать вместо , где - -матрица и .
13.2. ЛЕММА. Пусть - -матрица, состоящая из 0 и 1, и - ее многочлен Гильберта. Тогда .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По (12.4) имеем
( 13.4) |
Из леммы 13.2 следует, что
( 13.5) |
13.3. ЛЕММА. Пусть - -матрица, состоящая из 0 и 1. Тогда
- если содержит нулевую строку, то ;
- если содержит нулевой столбец, то ;
- значение инвариантно относительно перестановки строк (или столбцов) матрицы ;
- если состоит из одной строки , то ;
- если первая строка матрицы равна и первые элементы остальных строк равны 0, то , где матрица получена из удалением первой строки и первого столбца.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Все утверждения леммы следуют из (13.5) и из доказанных выше свойств размерностного многочлена матрицы .
(1) Если содержит нулевую строку, то (см. теорему 12.8(6). Применяя лемму 13.2, получаем .
(2) Если каждый элемент -го столбца матрицы равен нулю , то из формулы (13.2) следует, что (действительно, в обозначениях формулы (13.2) -ая координата любого вектора равна нулю, так что ни для какого подмножества ).
(3) Очевидно, что перестановка строк (или столбцов) матрицы не меняет значения , а, значит, и значения (см. утверждения (3) и (4) теоремы 12.8).
(4) Пусть состоит из одной строки . Поскольку
для всех достаточно больших , имеем Значит, .(5) По теореме 12.8(8) имеем , следовательно, .
Пусть - -матрица над , - множество строк матрицы и - элемент множества . Пусть обозначает -матрицу, полученную присоединением строки к матрице (без потери общности можно предполагать, что является -й строкой матрицы ). Следующая лемма устанавливает связь между размерностными многочленами матриц и . Как и выше, обозначает сумму всех элементов матрицы (в частности, обозначает сумму всех координат элемента ).