Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Алгоритмы вычисления размерностных многочленов
13.11. ПРИМЕР. Вычислим многочлен Гильберта матрицы
Сначала находим . Применяя (13.9), получаем
где и . Ясно, что (см. теорему 12.8(6)) и , следовательно, (см. 13.8)Заметим, что вычисление многочлена Гильберта по одному из алгоритмов A9, A10, A11 или A12 приводит к представлению этого многочлена в виде . Однако, применяя лемму 13.10, мы получаем многочлен в виде суммы многочленов вида , , . Максимальная степень этих многочленов меньше степени многочленов, фигурирующих в подобном представлении для , когда вычисляется по одному из алгоритмов A9, A10, A11 или A12.
Следующая лемма дает возможность оценивать степень многочлена Гильберта и вычислять его старший коэффициент, не вычисляя многочлен Гильберта полностью.
13.12. ЛЕММА. Пусть - -матрица над и - неотрицательное целое число. Тогда если и только если для любого подмножества , состоящего из элементов множества , существует строка матрицы , такая, что все элементы этой строки, стоящие в столбцах с индексами из , равны нулю. В частности, тогда и только тогда, когда содержит диагональную подматрицу.
Доказательство леммы проводится индукцией по сумме элементов матрицы и оставляется читателю в качестве упражнения.
Матрицу над назовем нормализованной, если каждый столбец матрицы содержит нуль. Ниже будет показано, что если - нормализованная -матрица, то алгоритм вычисления размерностного многочлена , основанный на лемме 13.10, требует меньшего числа операций, чем для произвольной -матрицы. В то же время, для сведения задачи вычисления размерностного многочлена произвольной -матрицы над к аналогичной задаче для нормализованной -матрицы можно воспользоваться теоремой 12.8(9).
13.13. ЛЕММА. Пусть - -матрица над и предположим, что .
- Если при и при , то , где - матрица получена из удалением первой строки и первого столбца.
- Если матрица получена из посредством обнуления первого столбца, то .
-
Если , тогде матрица получена из удалением первого столбца и всех строк, содержащих ненулевые элементы в первом столбце, а , где
( 13.10)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Если , то в имеется нулевая строка, следовательно, (см. теорему 12.8(6)). Если , то применяя (12.2) к и , получаем
Таким образом, индукция по дает требуемый результат.(2) Лемма 13.12 утверждает, что содержит строку, в которой ненулевой может быть только первая координата. Значит содержит нулевую строку, следовательно, .
(3) Соотношение (13.10) следует из (12.2), записанного для и .
Пользуясь леммой 13.13, можно предложить следующий метод вычисления многочлена Гильберта матрицы в случае, когда : применить соотношение (13.10) к (где - минимальный ненулевой элемент в первом столбце матрицы ), затем выписать аналогичное представление для и т. д. После конечного числа таких шагов получим представление многочлена в виде суммы многочленов Гильберта матриц , с столбцами и многочлена Гильберта , где элементы матрицы равны
так что (см. лемму 13.13(2)). Применяя описанную процедуру к каждой из матриц , мы сводим вычисление многочлена к вычислению многочленов Гильберта для некоторых матриц с столбцами и т.д., пока не получим матрицы, состоящие из единственного столбца. Как мы знаем, многочлен Гильберта такой матрицы совпадает с ее минимальным элементом.В общем случае (без условия ) вычисление размерностного многочлена для -матрицы по описанной схеме (используя (13.9) вместо (13.10)) можно свести к вычислению размерностных многочленов матриц, число столбцов в которых меньше , и размерностных многочленов некоторых -матриц с нулевым первым столбцом. Более точно: если первый столбец матрицы содержит ненулевые элементы, то мы полагаем и применяем (13.19). Затем применяем то же самое соотношение к (см. лемму 13.10) и т. д. В результате получим разложение многочлена в сумму многочленов вида , где и - либо матрица, число столбцов в которой меньше , либо -матрица с нулевым первым столбцом. Для вычисления размерностных многочленов матриц второго типа применяем описанный метод ко второму столбцу и т. д., пока не получим представление многочлена в виде суммы размерностных многочленов матриц, число столбцов в которых меньше , и размерностных многочленов матриц с не более чем двумя ненулевыми столбцами. Размерностный многочлен матрицы последнего типа может быть найден с помощью следующего утверждения.