Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Алгоритмы вычисления размерностных многочленов
13.4. ЛЕММА. Пусть является
-матрицей
;
,
, состоящей из
нулей и единиц. Если первый столбец матрицы
состоит только из
нулей,
а матрица
получена из
удалением этого нулевого
столбца, то
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Применяя формулу (12.2) к матрице и вектору
, получим
, где
-
матрица с элементами
(
суть
координаты вектора
). Очевидно,
и
(см. теорему 12.8(8)), так что
и, в частности,
. Поскольку
содержит нулевой
столбец, из леммы
13.3(2) следует, что
, значит,
.
13.5. ЛЕММА. Пусть
;
,
является
-матрицей состоящей из
нулей и единиц. Предположим, что
для
и
для
. Тогда
, где
матрица
получена
из
удалением первого столбца, а
получена из
удалением
первых строк.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Применяя (12.2) к и
,
получаем
, где
-
-матрица с элементами
![h_{ij}=\max \{ e_{ij}- e_j,0\} = \begin{cases} 0, &
\kern-7pt\text {если } j=1,\\
e_{ij}, & \kern-7pt\text {если } j\neq 1.\end{cases}](/sites/default/files/tex_cache/f4d971af40a556ed2ed42ca639002340.png)
![\omega_{E\cup\textbf{e}}(t) = \omega_{E_2}(t)](/sites/default/files/tex_cache/318cc55af5c09b27766ab238cf893b19.png)
![\omega_E(t) =
\omega_{E_2}(t) + \omega_H(t-1)](/sites/default/files/tex_cache/21352ce7b9d0123f27681cb1f963cf24.png)
![\omega_H(-2) = -\omega_{E_1}(-1)](/sites/default/files/tex_cache/ddfc6fe785cde596b7ea8936970aa092.png)
![\omega_E(-1) = \omega_{E_2}(-1) -
\omega_{E_1}(-1)](/sites/default/files/tex_cache/1394cd0ec80ea705cd499842534db4c4.png)
![\begin{multiline*}
\mu_1(E) = (-1)^m\omega_E(-1) =
(-1)^m\omega_{E_2}(-1) + (-1)^{m-1}\omega_{E_1}(-1) \\
= \mu_1(E_1) - \mu_1(E_2). \tag*{\qedsymbol}
\end{multiline*}](/sites/default/files/tex_cache/cd753afaa214638764ba012a7f56779d.png)
13.6. СЛЕДСТВИЕ. Пусть
-
-матрица, состоящая из 0 и 1. Предположим, что
существуют
, такие, что
для всех
. Тогда
, где
получена из
удалением
-го столбца.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Поскольку размерностный многочлен матрицы инвариантен
относительно перестановок строк
(или столбцов) матрицы
, значение
также обладает этим свойством.
Поэтому, без потери общности, можно считать, что
и существует
, такое, что
для
,
и
для
. По лемме 13.5,
, где
получена из
удалением первого столбца и
первых строк (поскольку
для
, каждый элемент
-го столбца матрицы
равен нулю).
Следовательно,
(см. лемму 13.3(2)), так что
.
13.7. ЛЕММА. Пусть
-
-матрица, состоящая из 0 и 1. Предположим, чт о
содержит строку
, такую, что
для
и
для
. Тогда
, где матрица
получена удалением строки
из матрицы
, а
- матрица
получена из матрицы
удалением
первых столбцов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Применяя формулу (12.3) к матрице и строке
, получаем
, где матрица
получена из
присоединением слева
нулевых столбцов.
Теперь из (12.2) видно, что
,
следовательно,
![\omega_E(-1) = \omega_{E\setminus \textbf{e}}(-1) - \omega_{\tilde E_1}(-1-r) =
\omega_{E\setminus \textbf{e}}(-1) + \omega_{\tilde E_1\cup\textbf{e}}(-1)-\omega_{\tilde
E_1}(-1).](/sites/default/files/tex_cache/45db215bad387e8054153da11d68b246.png)
Поскольку содержит нулевой столбец, из пункта 2
леммы 13.3 следует, что
, значит,
![\omega_{\tilde E_1}(-1) = (-1)^m\mu_1(\tilde E_1) = 0](/sites/default/files/tex_cache/111fbc993356e071f502833430c9d9f1.png)
![\begin{align*}
\mu_1(E)&= (-1)^m\omega_E(-1) = (-1)^m\omega_{E\setminus \textbf{e}}(-1) +
(-1)^m \omega_{\tilde E_1\cup\textbf{e}}(-1)\\
&=\mu_1(E\setminus\textbf{e})+\mu_1(\tilde E_1\cup \textbf{e}).
\end{align*}](/sites/default/files/tex_cache/9cae72238b317162cd3b07024401aba1.png)
![(r-1)](/sites/default/files/tex_cache/0d7fb19792d5c08853cfa1afa1701c6e.png)
![\tilde
E_1\cup \textbf{e}](/sites/default/files/tex_cache/215d669ae5b9d3e74bc7322cab5d5028.png)
![r](/sites/default/files/tex_cache/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png)
![\mu_1(\tilde
E_1\cup \textbf{e})= \mu_1({\mathbf0}E_1\cup (1,0,\dots,0))](/sites/default/files/tex_cache/6c95837696b9d9e4d98c5de7140090b9.png)
![{\mathbf0}E_1](/sites/default/files/tex_cache/29ca3019a16790a12d4bea6880319cae.png)
![E_1](/sites/default/files/tex_cache/696de7240ea53e1220ef352d18e8a2cd.png)
![\mu_1({\mathbf0 E_1\cup(1,0,\dots,0)) =-\mu_1(E_1)](/sites/default/files/tex_cache/845c2549afe407cff8b1bd3f384dcfe4.png)
![\mu_1(E)=\mu_1(E\setminus\textbf{e})-\mu_1(E_1)](/sites/default/files/tex_cache/bd5022b031fd33d59163298717f63f54.png)
Пусть
-
-матрица. По теореме 12.8
п.5, удаление "лишних" строк матрицы
не меняет
размерностный многочлен этой матрицы, значит, не меняет и
значение
. Кроме того, если любой элемент
матрицы
равен либо 0, либо
1, то из следствия 13.6 вытекает,
что удаление "лишних" столбцов матрицы
не меняет
значения
(
-й столбец матрицы
называется "лишним", если существует число
,
такое, что
и
для
всех
).
Таким образом, в ходе
вычисления (где
-
-матрица, состоящая из 0 и 1) мы можем прежде всего отбросить "лишние"
строки и столбцы (по п.5 леммы 13.3, эти вычисления сопровождаются соответствующими
изменениями знака
), а затем отбросить строки и столбцы,
удовлетворяющие соотношениям леммы
13.5. Затем мы можем выбрать одну из
следующих альтернатив:
воспользоваться леммой 13.5 для
вычисления
(где
- матрица,
полученная из
с помощью описанного выше процесса сокращения) или
вычислить
, воспользовавшись
леммой 13.7, т. е.
"раскладывая"
по строкам и столбцам соответственно.
Очевидно, что если число строк матрицы
больше числа ее
столбцов, то предпочтительнее
"движение по столбцам" с помощью леммы 13.5, в противном случае для
вычисления
целесообразно воспользоваться леммой 13.7.