Опубликован: 26.09.2006 | Доступ: свободный | Студентов: 1772 / 459 | Оценка: 4.25 / 4.12 | Длительность: 17:09:00
ISBN: 978-5-9556-0066-6
Специальности: Программист, Математик
Лекция 14:

Логическое программирование

< Лекция 13 || Лекция 14: 12345

Правила образования формул

  1. Если pk -местный предикатный символ, а t_1, t_2\dts t_k — термы, то выражение p(t_1, t_2\dts t_k) является формулой (атомарной).
  2. Если A и B — формулы, то выражения [A \& B], [A \vee B], [A \to B] и \neg A являются формулами.
  3. Если A — формула, а y — переменная, то выражения \forall y\,A, \exists y\,A являются формулами.

Замечания

  1. В правиле 3 формула A называется областью действия соответствующего квантора, а все вхождения переменной y в атомарные подформулы формулы A называются связанными.
  2. Переменная, имеющая вхождение в атомарную подформулу формулы A, не находящуюся в области действия соответствующего квантора, называется свободной переменной формулы A. Конечно, одна и та же переменная может иметь как связанные, так и свободные вхождения в формулу.
  3. Формула, не имеющая переменных со свободными вхождениями, называется предложением.
  4. Формулы, в которых имеются свободные вхождения переменных, трактуются как высказывательные формы, а предложения — как высказывания, истинностная оценка которых зависит от интерпретации входящих в них предикатных и функциональных символов в соответствии со смыслом логических связок и кванторов.

Пример. Пусть нелогическая сигнатура состоит из трех символов \{E, M, S\}, где E — двухместный предикат, Sодноместная функция, M — двухместная функция, тогда выражение

\eq*{
\forall z \forall y E (M (S(z), S(y)), S(M (z, y))),
}
очевидно, будет формулой. Поскольку в этой формуле нет свободных переменных, то она является предложением.

Рассмотрим следующую интерпретацию нашей сигнатуры. Пусть универсумом рассуждения будет множество точек плоскости, это означает, что значениями переменных являются точки. Далее, пусть

  • M(z, y) — точка, являющаяся серединой отрезка (z,
y),
  • S(z) — точка, симметричная точке z относительно некоторой точки,
  • E(z, y) — предикат, означающий равенство точек z и y.

При такой интерпретации нелогических символов M, S, E, приведенная выше формула есть утверждение о том, что середина отрезка (z, y) симметрична середине отрезка с концами, симметричными точкам z, y.

Очевидно, что это утверждение истинно.


Рис. 14.1.

Рассмотрим еще одну интерпретацию нашей сигнатуры. Пусть на этот раз универсумом рассуждения будет множество действительных чисел, исключая число 0:

  • M(z, y) — произведение чисел z, y,
  • S(z) — число, обратное числу z,
  • E(z, y) — " z = y ".

Рассматриваемая нами формула является теперь утверждением о том, что для любых двух чисел из нашего универсума выполняется равенство

\eq*{
(z y)^{-1} = z^{-1} y^{-1}.
}

Очевидно, что это утверждение истинно. Нетрудно привести примеры интерпретаций, при которых наша формула ложна. Следующие примеры показывают, что существуют формулы, тождественно истинные, то есть истинные при любой интерпретации, а также тождественно ложные.

Примеры. Пусть P и Q — одноместные предикатные символы.

  1. \forall x [\neg P(x) \vee P(x)] — тождественно истинная формула.
  2. \forall x [\neg P(x) \& P(x)] — тождественно ложная формула.
  3. \forall x [P(x) \vee Q(x)] — истинность этой формулы зависит от интерпретации предикатных символов P и Q.

Если в формуле есть свободные переменные, то она получает конкретное истинностное значение при означивании этих переменных.

Формула называется выполнимой, если она истинна хотя бы при одной интерпретации.

Две формулы называются логически равносильными, если при любой интерпретации предикатных и функциональных символов и при любом означивании свободных переменных они имеют одно и то же истинностное значение.

Например, формулы

\eq*{
\begin{gathered}
\forall x [P(x) \vee Q(x)],\\
[\forall x P(x) \vee \forall x Q(x)]
\end{gathered}
}

не являются логически равносильными, а формулы

\eq*{
\begin{gathered}
\forall x [P(x) \& Q(x)],\\
[\forall x P(x) \& \forall x Q(x)]
\end{gathered}
}

логически равносильны.

Логическую равносильность формул будем обозначать знаком \equiv, например,

\eq*{
\forall x\, [P(x) \& Q(x)] \equiv [\forall x\, P(x) \& \forall x Q(x)].
}

Заметим, что в этом выражении фигурирует не одна формула, а две, соединенные знаком логической равносильности.

< Лекция 13 || Лекция 14: 12345
Антон Сиротинкин
Антон Сиротинкин

на стр 6, лекции 3, Очевидно "Ck <= модуль(Gk(е))*b(k+1)" (1) - , подскажите что значит "модуль" и почему это очевидно...