НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 2: Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Тепловой кристалл
Рассмотрим уравнение

$\frac{{\partial}u}{{\partial}t} = k_1 \frac{{\partial}}{{\partial}x}u^{\alpha }\frac{{\partial}u}{{\partial}x} + k_2 \frac{{\partial}}{{\partial}y}u^{\alpha } \frac{{\partial}u}{{\partial}y} + au^{\beta } .$

Попытайтесь качественно исследовать свойства решений этого уравнения.

В случае ${\alpha} ={\beta}- 1 > 0, k_1 \ne k_2$ рассмотреть задачу со следующими граничными условиями:

$u(t, x, 0) = A_0 (1 - t)^{n}(1 - \lambda_1 x)^{2/{\alpha} }$
при $x \le 1/ \lambda_1$ ,

$u \left({t, 0, y}\right) = A_1 \left({1 - t}\right)^{n} \left({1 - \lambda_2 y}\right)^{2/{\alpha} }$
при $x \le 1/ \lambda_2$ , иначе 0. Здесь n < 0 — действительное число.

Рассмотреть случаи

$n = - 1/{\alpha} , \quad n < - 1/{\alpha} , \quad - 1/{\alpha} < n < 0.$
Решить задачу численно и сравнить полученное решение с аналитическим. Решение тепловой кристалл описано в [12.4, c. 148 - 155].
Остановка тепловой волны
Модифицируем задачу 6:

${\frac{{\partial}u}{{\partial}t} = \frac{{\partial}}{{\partial}x} \left({u^{\alpha} \frac{{\partial}u}{{\partial}x}}\right) + au^{\beta}- \varepsilon u, }$ ( 2.11)

положив $\varepsilon = 0, 1$ .
- Выполнить пункты задачи 6. Как влияет малый линейный сток на поведение решения?
- В случае ${\alpha} ={\beta}- 1$ найти автомодельное решение, аналогичное рассматриваемому в задаче (7).
  Указание. Рассмотреть последовательность замен
  
  $v = ue^{\varepsilon t}, \frac{{\partial}v}{{\partial}t} = e^{\varepsilon t} \left({\frac{{\partial}u}{{\partial}t} + \varepsilon u}\right)$
  
  и $d{\tau} = e^{\alpha \varepsilon t} dt$ .
  
  Каким станет уравнение (2.11) в переменных v, x, t?
- Рассмотреть задачу о формировании теплового кристалла для уравнения (2.11).
Неустойчивость Тьюринга
Рассмотрим систему

$\begin{gather*} \frac{{\partial}u}{{\partial}t} = D_1 \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}x^2}} + au + bv, \\ \frac{{\partial}v}{{\partial}t} = D_2 \frac{{{\partial}^2 v}}{{{\partial}x^2}} + cu + dv \end{gather*}$

с условиями

$\left. {\frac{{\partial}u}{{\partial}x}}\right|_{x = 0} = \left. {\frac{{\partial}u}{{\partial}x}}\right|_{x = 1} = 0, \left. {\frac{{\partial}v}{{\partial}x}}\right|_{x = 0} = \left. {\frac{{\partial}v}{{\partial}x}}\right|_{x = 1} = 0,$

причем a + d < 0, ad - bc > 0. При этих условиях особая точка (0, 0) системы $\dot {u} = au + bv, \dot {v} = cu + dv$ устойчива. Пусть, без ограничения общности, a > 0.
1. Найти условие, когда внесение в систему диффузии приводит к потере устойчивости однородного стационарного решения.
  Указание. Рассмотреть преобразование Фурье по пространственной переменной. Исследовать на устойчивость особые точки получившейся системы ОДУ.
2. Подобрав коэффициенты a, b, c, d и D₁, D₂, удовлетворяющие условиям, найденным в пункте 1, получить при численном счете так называемые структуры Тьюринга. Под структурой Тьюринга здесь понимается пространственно - неоднородное решение с волновым числом k, таким, что
  ${\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits} {\lambda}(k^2 ) = 0; \frac{{{\partial}({\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits} {\lambda})}}{{{\partial}(k^2 )}} = 0$
  при записи решения в виде
  $\left( \begin{array}{l} u \\ v \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} c_1 \\ c_2 \\ \end{array} \right) e^{{\lambda}t - ikx} .$
  В случае линейной задачи эти структуры будут возрастать по амплитуде при $t \to \infty$ , в случае нелинейного уравнения (следующая задача) бесконечный рост становится невозможным, структура стабилизируется за счет нелинейности.
Распределенный брюсселятор
Рассмотрим систему уравнений типа реакция - диффузия, где для описания химических реакций использована модельная система "брюсселятор". В литературе эта постановка имеет название "распределенный брюсселятор":

$\begin{gather*} \frac{{\partial}u}{{\partial}t} = A - (B + 1)u + u^2 v + D_1 \frac{{{\partial}^2 u}}{{{\partial}x^2}}, \\ \frac{{\partial}v}{{\partial}t} = Bu - u^2 v + D_2 \frac{{{\partial}^2 v}}{{{\partial}x^2}} \end{gather*}$

с граничными условиями

$\frac{{\partial}u}{{\partial}x}(0, t) = \frac{{\partial}u}{{\partial}x}(l, t) = \frac{{\partial}v}{{\partial}x}(0, t) = \frac{{\partial}v}{{\partial}x}(l, t) = 0$

и начальным условием $u(x, 0) = A(1 + \varepsilon cos \omega x),\ v(x, 0) = B/A$ . Это — система уравнений "брюсселятор" с учетом диффузии компонентов.
- Пусть $B > (1 + A \sqrt{{D_1}/{D_2}})^2$ , D₁ < D₂. Рассмотреть образование структур Тьюринга в случаях $\mu = A \sqrt{{D_1}/{D_2}}$ , $\mu < 0.207$ , $0.207 < \mu < 2.418$ , $\mu > 2.418.$
  Когда можно пользоваться явной разностной схемой? Когда необходима неявная схема?
- Пусть теперь D₁ > D₂, A > 1. Что происходит в системе? Почему для расчетов необходимо применять неявные схемы? Какую схему расщепления по физическим процессам можно предложить для решения задачи? Примеры расчетов приведены в книге [12.15], качественное исследование — в [12.14, С. 403 - 407].
Схема "Классики"
Для двумерного уравнения теплопроводности используется схема "классики". Как и в схеме Саульева, расчет осуществляется в два этапа:

$\frac{{u_{{l}{m}}^{n + 1} - u_{{l}{m}}^{n}}}{\tau} = \frac{{u_{{l} - 1{m}}^{n} - 2u_{{l}{m}}^{n + 1} + u_{{l} + 1{m}}^{n}}}{{h_x^2}} + \frac{{u_{{l}{m} - 1}^{n} - 2u_{{l}{m}}^{n + 1} + u_{{l}{m} + 1}^{n}}}{h_y^2}$

в случае, если l + m + n — четное,

$\frac{{u_{{l}{m}}^{n + 1} - u_{{l}{m}}^{n}}}{\tau} = \frac{{u_{{l} - 1{m}}^{n + 1} - 2u_{{l}{m}}^{n + 1} + u_{{l} + 1{m}}^{n + 1}}}{{h_x^2}} + \frac{{u_{{l}{m} - 1}^{n + 1} - 2u_{{l}{m}}^{n + 1} + u_{{l}{m} + 1}^{n + 1}}}{{h_y^2}}$

в случае, если l + m + n - нечетное.

Явная или неявная эта схема? Исследовать ее на аппроксимацию и устойчивость. Зачем нужно "перепрыгивание" — смена порядка обхода узлов при переходе со слоя на слой по времени?

Применить эту схему к расчету предыдущей задачи.