НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 2: Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Произведя аппроксимацию первого и второго слагаемого в правой части (в невязке) рассматриваемого равенства и учитывая следствия исходного уравнения теплопроводности

$\begin{gather*} u^{\prime}_t = au^{\prime\prime}_{xx}, u^{\prime\prime}_{tt} = a(u^{\prime}_t )^{\prime\prime}_{xx}, \\ u^{\prime\prime}_{tt} = a^2 u_x^{(4)}, \end{gather*}$

получим новую схему повышенного порядка точности:

$\begin{gather*}\frac{{u_m^{n} - u_m^{n}}}{\tau} - a \frac{{u_{m - 1}^{n} - 2u_m^{n} + u_{m + 1}^{n}}}{{h^2}} - \\ - \frac{{a^2{\tau}}}{2}(1 - \frac{1}{6} \frac{{h^2}}{{a{\tau}}}) \frac{{u_{m - 2}^{n} - 4u_{m - 1}^{n} + 6u_m^{n} - 4u_{m - 1}^{n} + u_{m + 2}^{n}}}{{h^4 }} = 0. \end{gather*}$

Трехслойная параметрическая схема для численного решения одномерного линейного уравнения теплопроводности имеет вид

$\begin{gather*} \frac{{(1 - \eta )(u_m^{n + 1} - u_m^{n} )}}{\tau} - \eta \frac{{u_m^{n} - u_m^{n - 1}}} {\tau} - \\ - a \left[{(1 - \xi ) \frac{{u_{m - 1}^{n} - 2u_m^{n} + u_{m + 1}^{n}}}{{h^2}} + \xi \frac{{u_{m - 1}^{n + 1} - 2u_m^{n + 1} + u_{m + 1}^{n + 1}}}{{h^2}}}\right] = 0; \end{gather*}$

при $\eta = 0, 5,\ \xi = 1$ ее порядок аппроксимации равен $O(\tau ^{2}, h^{2})$ . Недостатком схемы является трехслойность и, следовательно, необходимость ставить дополнительное условие на u'_t(0, x) .

Соответствующий шаблон имеет вид

Рис. 2.1.

В случае если коэффициент теплопроводности a зависит от времени и координат, консервативную схему можно получить, используя интегро - интерполяционный метод (положим, для простоты f(t, x) = 0) . Напомним, что разностная схема называется консервативной, если выполняются следующие условия. В дифференциальной задаче выполняется некий закон сохранения. Соответствующий закон сохранения выполняется и на сеточном уровне. Если же в дифференциальной задаче имеется несколько законов сохранения, а при переходе к сеточному описанию все они получаются как следствие нашей разностной схемы в результате алгебраических преобразований, то схема называется полностью консервативной.

Как правило, при записи уравнений в частных производных законам сохранения соответствует дивергентная форма записи. Для уравнения теплопроводности роль такого закона сохранения играет непрерывность теплового потока.

Рис. 2.2.

Для этого запишем уравнение в дивергентной форме:

$\begin{gather*} \frac{{\partial}u}{{\partial}t} + \frac{{\partial}W}{{\partial}x} = 0, \quad \mbox{где} \quad W = - a(t, x) \frac{{\partial}u}{{\partial}x} \mbox{ - тепловой поток, } \\ \mbox{или} \int\limits_{S}(\frac{{\partial}u}{{\partial}t} + \frac{{\partial}W}{{\partial}t}) {dtdx} = \oint\limits_{\Gamma} udx - {Wdt} = 0. \end{gather*}$

Произведем аппроксимацию последнего интеграла по прямоугольному контуру с узловыми точками (n, m - 1/2), (n, m + 1/2), (n + 1, m + 1/2), (n + 1, m - 1/2 ):

$\begin{gather*} u_m^{n} h - W_{m + 1/2}^{n + 1/2}{\tau}- u_m^{n + 1} \cdot h + W_{m - 1/2}^{n + 1/2}{\tau} = 0, \\ \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} + \frac{{W_{m + 1/2}^{n + 1/2} - W_{m - 1/2}^{n + 1/2}}}{h} = 0. \end{gather*}$

Отсюда, учитывая вид $W_{m \pm 1/2}^{n + 1/2}$ :

$\begin{gather*} W_{m + 1/2}^{n + 1/2} = \frac{1}{2} \left({{a}_{m + 1/2}^{n} \frac{{u_{m + 1}^{n} - u_m^{n}}}{h} + a_{m + 1/2}^{n + 1} \frac{{u_{m + 1}^{n + 1} - u_m^{n + 1}}}{h}}\right), \\ W_{m - 1/2}^{n + 1/2} = \frac{1}{2} \left({a_{m - 1/2}^{n} \frac{{u_m^{n} - u_{m - 1}^{n}}}{h} + a_{m - 1/2}^{n + 1} \frac{{u_m^{n + 1} - u_{m - 1}^{n + 1}}}{h}}\right), \\ \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} + \frac{1}{{2h}} \left[{\left({a_{m + 1/2}^{n} \frac{{u_{m + 1}^{n} - u_m^{n}}}{h} - a_{m - 1/2}^{n} \frac{{u_m^{n} - u_{m - 1}^n }}{h}}\right) + }\right. \\ \left. {+ \left({a_{m + 1/2}^{n + 1} \frac{{u_{m + 1}^{n + 1} - u_m^{n + 1}}}{h} - a_{m - 1/2}^{n + 1} \frac{{u_m^{n + 1} - u_{m - 1}^{n + 1}}}{h}}\right)}\right] = 0 \end{gather*}$

Дальше >>

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных

Лекция 2: Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Численные методы решения уравнений в частных производных

Численные методы решения уравнений в частных производных

Лекция 2: Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на примере уравнения теплопроводности

Вопросы и ответы

Студенты