НОУ ИНТУИТ | Введение в эконометрику. Лекция 10: Стационарные временные ряды, модели авторегрессии

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 27 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

10.8. Алгоритм выбора модели оптимальной сложности для временного ряда в АРСС(p, q)-моделях

Все множество наблюдений $y_{t}, t = 1, 2, 3, \dots , T$ разбивают на две выборки:

обучающую с объемом наблюдений $T_{1} (y_{1}, y_{2}, \dots , y_{T1})$ ;
экзаменационную $(y_{T1}_{+1}, \dots , y_{T1} +_{t}_{2})$ с объемом наблюдений $Т_{2}$ .

На обучающей выборке определяют числовые характеристики временного ряда, а именно: среднее, дисперсию, автоковариации и автокорреляционные функции (АКФ):

Организуются циклы по переменным - числу параметров авторегрессии и - числу параметров скользящего среднего:

$p = 1, 2, \dots , p_{max}; q = 1, 2, \dots , q_{max}.$

Для каждой пары ( p, q ) вычисляются оценки параметров авторегрессии $Ф = (Ф_{1}, Ф_{2}, \dots , Ф_{p}$ ) путем решения системы р линейных уравнений

где

-

матрица с элементами $А_{ij} = \gamma_{|q+i-j|}$ , а вектор $х = (х_{1}, х_{2}, \dots , х_{p})$ с координатами $х_{i} = \gamma_{q+i}; i, j = 1, 2, \dots , p$ .

По известным автоковариациям $\gamma_{k}$ вычисляется модифицированная последовательность ковариаций $\gamma_{j} ^{1}$ :

Вычисляются начальные значения $\tau _{0}^{0} = \sqrt{\gamma_{0}^{1}}; \tau _{1}^{0} = \tau _{2}^{0 }= \dots = \tau _{q}^{0 }= 0$ , т.е. формируется начальный вектор \ $tau ^{0 }= (\tau _{0}^{0}, \tau _{1}^{0}, \tau _{2}^{0}, \dots , \tau _{q}^{0})$ .

Далее используется алгоритм Ньютона - Рафсона вида

$\tau ^{i+1 }= \tau ^{i } - h, \tau ^{i }= (\tau _{0}^{i}, \tau _{1}^{i}, \tau _{2}^{i}, \dots , \tau _{q}^{i}) .$

где

-

решение системы $T^{i} h = f^{i}$ .

При этом

$f ^{i }= (f_{0}^{i}, f_{1}^{i}, f_{2}^{i}, \dots , f_{q}^{i}),$

и начальный вектор определен выше.

Если $|f_{ji}| < \varepsilon , j = 0,1, \dots, q$ , для некоторого выбираемого заранее малого $\varepsilon$ , то итерационный процесс завершается.

Оценки $\beta _{i}$ параметров скользящего среднего находятся по формулам

$\beta _{j} = -\tau _{j }/ \tau _{0}, j = 0, 1, \dots , q,$

где получен в результате применения алгоритма Ньютона - Рафсона (см. выше).

Вычисляем свободный член модели

Определяем оценку дисперсии белого шума:

Вычисляем остаточные ошибки модели на обучающей выборке. Пусть s = max{p, q} , тогда остаточные ошибки на обучающей выборке $(y_{1}, y_{2}, \dots , yT_{1})$ имеют вид

$\alpha _{1}^{об} = \alpha _{2}^{об} = \alpha _{3}^{об} = \dots = \alpha _{s}^{об};$

Найдем остаточные ошибки модели на проверочной последовательности. Полагаем:

$\alpha _{0}^{пр} = \alpha _{1}^{об}; = \alpha _{-1}^{пр} = \dots = \alpha T1-1^{об}; \dots , \alpha _{-s}^{пр} = \alpha T1-s^{об}$

и далее

Вычисляем на экзаменационной (проверочной) последовательности среднюю сумму квадратов ошибок:

Оформляем конец циклов на и .

Выбираем пару $p^{опт}$ и $q^{опт}$ , для которой $\sigma ^{2}_{pq}$ принимает минимальное значение:

$(p^{опт}, q^{опт}) = arg min \sigma ^{2}_{pq}.$

Далее производится оценка коэффициентов авторегрессии и скользящего среднего для модели выбранной оптимальной сложности с $p = p^{опт}, q = q^{опт}$ , повторяя описанный выше алгоритм для всей выборки и получая окончательные значения коэффициентов $а_{0}, Ф_{1}, \dots , Ф_{p}, \beta _{0}, \dots , \beta _{q}$ .

Экономичность модели. Помимо "внешнего" критерия при построении модели можно использовать принцип экономичности. Включение дополнительных переменных в модель увеличивает адекватность модели (на обучающей выборке), так как средняя ошибка модели убывает. Часто можно заменить одну модель другой - более экономичной. Например, СС( $\infty$ )-модель

$y_{t} = \varepsilon _{t} + 0,5\varepsilon _{t} - 1 + 0,25\varepsilon _{t} - 2 + 0,125\varepsilon _{t} - 3 + 0,0625\varepsilon _{t} - 4 +\dots$

эквивалентна модели $y_{t} = 0,5y_{t} - 1 + \varepsilon _{t}$ , что легко проверить.

Для того чтобы сделать модель более экономичной, считают, что коэффициенты авторегрессии и скользящего среднего должны иметь -статистики больше или равны 2 (чтобы каждый коэффициент значимо отличался от нуля при 5%-ном уровне значимости). Кроме того, необходимо следить за тем, чтобы коэффициенты не были сильно коррелированны друг с другом. Сильная корреляция коэффициентов делает модель неустойчивой. В этом случае следует исключать те коэффициенты, которые в наименьшей степени ухудшают результаты прогноза.

Кроме того, важно, чтобы остатки оцениваемой модели были сериально некоррелированные. Наличие сериальной корреляции остатков сигнализирует о систематических изменениях в последовательности $\{y_{t}\}$ , которые не могут быть учтены АРСС-моделью.

Чтобы проверить корреляцию остатков, строят АКФ и ЧАКФ для остатков оцениваемой модели. Затем можно использовать -статистики Бокса - Пирса и Льюиса - Бокса (см. (10.49)-(10.50)). Они позволяют определить, будут ли автокорреляции остатков или частные автокорреляции статистически значимы. Обычно можно предполагать наличие сериальной корреляции остатков при превышении критического уровня -статистикой при 10%-ном уровне значимости. В этом случае велика вероятность построения другой модели, лучше отражающей специфику процесса.

Стационарность и обратимость модели. Из теории вероятностей известно, что выборочные АКФ и ЧАКФ аппроксимируют АКФ и ЧАКФ реального временного ряда в том случае, если предполагать стационарность ряда $y_{t}$ . Далее, и -статистики также предполагают стационарность ряда $y_{t}$ .

Если искомый ряд $y_{t}$ не стационарный, то первым шагом в подходе Бокса - Дженкинса является взятие первой, второй и следующих разностей временного ряда

$\Delta ^{2}y_{t} = y_{t} - y_{t} - 1, \Delta ^{2}y_{t} = \Delta (\Delta y_{t})$

и так далее до тех пор, пока в результате не получится стационарный временной ряд. Этот подход обладает серьезным недостатком, так как не позволяет включать в модель долговременные составляющие. Современные подходы к построению модели временных рядов в условиях нестационарности рассмотрены в последующих главах книги.

Подход Бокса - Дженкинса требует также обратимости модели. Она означает возможность представления модели в виде конечного или бесконечного, но сходящегося авторегрессионного процесса. Это необходимо для АКФ и ЧАКФ. Рассмотрим, к примеру, СС(1)-модель

$y_{t} = \varepsilon _{t} - \beta _{1}\varepsilon _{t} - 1.$

Если $|\beta _{1}| < 1$ , то

$\varepsilon _{t} = y_{t}/(1 - \beta _{1}L).$

Разлагая в ряд правую часть равенства, получаем:

$y_{t} + \beta _{1}y_{t-1} + \beta _{1}^{2}y_{t} + \beta _{1}^{3}y_{t} + \dots = \varepsilon _{t}.$

Полученная модель представляет собой сходящуюся авторегрессионную модель бесконечного порядка, для которой могут быть посчитаны АКФ и ЧАКФ. Однако если $|\beta_{1}| >= 1$ , то последовательность $\{y_{t}\}$ не может быть представлена сходящейся авторегрессией. В общем случае для АРСС( p, q )-модели корни многочлена $1 + \beta _{1}L + \beta _{2}L^{2} +\dots + + \beta qL^{q }$ должны лежать вне единичного круга. Тогда модель обратима.

Заметим, что могут существовать и необратимые модели с "долгосрочной памятью", которые нельзя построить по методу Бокса - Дженкинса. Например, модель стационарного процесса

$y_{t} = \varepsilon _{t} - \varepsilon _{t} - 1$

с постоянным средним Myt = Myt - s = 0 , дисперсией и автоковариациями $\gamma1 = - \beta 1\sigma 2 = -\sigma 2$ и \ $gamma\sigma = 0$ . Записывая модель в эквивалентном виде