НОУ ИНТУИТ | Введение в эконометрику. Лекция 10: Стационарные временные ряды, модели авторегрессии

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 27 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

10.5. Автокорреляционные функции (АКФ)

Автоковариации и автокорреляции (см. (10.12) и (10.13)) весьма полезны при построении АРСС( p, q )-моделей. Проиллюстрируем метод автокорреляционных функций на четырех важных примерах, встречающихся примерно в 80% приложений: моделях АР(1), АР(2), СС(1), АРСС(1, 1).

АКФ для АР(1)-модели $y_{t} = a_{0} + a_{1}y_{t-1} + \varepsilon _{t}$ формулы (10.13), (10.19) дают:

$\gamma_{t} = \sigma ^{2}/[1 - (a_{1})^{2}],\\ \gamma_{s} = \sigma ^{2}(a_{1})^{s}/[1 - (a_{1})^{2}].$

Из (10.13) получаем, что $\rho _{0} = 1; \rho _{1} = а_{1}; \rho _{2} = (а_{1})^{2}, \dots , \rho _{s} = (а_{1})^{s}$ .

Построим график, на оси абсцисс отложив значение , а на оси ординат - $\rho _{s}$ . Напомним, что такой график называется коррелограммой. В нашем случае автокорреляционные функции $\rho _{s }$ сходятся к нулю со скоростью геометрической прогрессии ( $|а_{1}| < 1$ по условию). Если $а_{1} > 0$ , то сходимость монотонно убывающая. При $а_{1} < 0$ наблюдаются колебания, амплитуда которых затухает со скоростью геометрической прогрессии.

АКФ для АР(2)-модели. АР(2)-процесс более сложный:

$y_{t} = a_{1}y_{t-1} + a_{2}y_{t-2} + \varepsilon _{t}.$

(10.27)

Мы опустили свободный член, поскольку он не оказывает влияния на величину АКФ. Напомним, что по условиям стационарности корни характеристического многочлена $(1 - a_{1}L - a_{2}L^{2})$ лежат вне единичного круга. Выведем расчетные формулы для автокорреляций, используя уравнения Юла - Уокера.

Умножим уравнение (10.27) на $y_{t-s}, s = 0; s = 1; s = 2$ и т.д. После вычисления математического ожидания в левой и правой частях равенств получаем систему уравнений

$My_{t}y_{t} = a_{1}My_{t-1}y_{t} + a_{2}My_{t-2}y_{t} + M\varepsilon _{t}y_{t} ,\\ My_{t}y_{t-1} = a_{1}My_{t-1}y_{t-1} + a_{2}My_{t-2}y_{t-1} + M\varepsilon _{t}y_{t-1},\\ My_{t}y_{t-2} = a_{1}My_{t-1}y_{t-2} + a_{2}My_{t-2}y_{t-2} + M\varepsilon _{t}y_{t-2},\\ \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots .\\ My_{t}y_{t-s} = a_{1}My_{t-1}y_{t-s} + a_{2}My_{t-2}y_{t-s} + M\varepsilon _{t}y_{t-s}.$

(10.28)

Согласно определению стационарности,

$My_{t}y_{t-s} = My_{t-s}y_{t} = My_{t-k}y_{t-k-s} = \gamma_{s}.$

Далее ясно, что

$M\varepsilon _{t}y_{t} = \sigma ^{2},\\ M\varepsilon _{t}y_{t-s} = 0.$

Поэтому (10.28) преобразуется к следующему виду:

$\gamma_{0} = a_{1}\gamma_{1} + a_{2}\gamma_{2} + \sigma ^{2},$

(10.29)

$\gamma_{1} = a_{1}\gamma_{0} + a_{2}\gamma_{1},$

(10.30)

$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

$\gamma_{s} = a_{1}\gamma_{s}_{-1} a_{2}\gamma_{s-2}.$

(10.31)

Поделив (10.30) и (10.31) на $\gamma 0$ , получаем:

$\rho _{1} = a_{1}\rho _{0} + a_{2}\rho _{1},$

(10.32)

$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

$\rho _{s} = a_{1}\rho _{s-1} + a_{2}\rho _{s-2}.$

(10.33)

Поскольку $\rho _{0} = 1$ , из (10.32) следует, что $\rho _{1} = a_{1}/(1 - a_{2})$ . Зная $\rho _{0}$ и $\rho _{1}$ , далее последовательно находим остальные АКФ. Например, для s = 2 и s = 3 имеем

$r_{2} = (a_{1})^{2}/(1 - a_{2})+ a_{2},\\ r_{3} = a_{1}[(a_{1})^{2}/(1 - a_{2})+ a_{2}] + a_{2}a_{1}/(1 - a_{2}).$

Как и в предыдущем случае, последовательность АКФ $\{\rho _{s}\}$ должна быть сходящейся. Согласно условиям стационарности $y_{t}$ корни характеристического уравнения для разностного уравнения (10.33) должны лежать внутри единичного круга.

АКФ для СС(1)-модели. Рассмотрим СС(1)-процесс вида $y_{t} = \varepsilon _{t} +\beta \varepsilon _{t-1}$ . Умножая $y_{t}$ на $y_{t-s}$ и вычисляя математическое ожидание, получаем уравнения Юла - Уокера

$\gamma_{1} = D(y_{t}) = My_{t}y_{t} = M[(\varepsilon _{t} + \beta \varepsilon _{t-1})(\varepsilon _{t} + \beta \varepsilon _{t-1})] = (1+\beta ^{2}) \sigma ^{2},\\ \gamma_{1} = My_{t}y_{t-1} = M[(\varepsilon _{t} + \beta \varepsilon _{t-1})(\varepsilon _{t-1} + \beta \varepsilon _{t-2})] = \beta \sigma ^{2}$

и

$\gamma_{s} = My_{t}y_{t-s} = M[(\varepsilon _{t} + \beta \varepsilon _{t-1})(\varepsilon _{t-s} + \beta \varepsilon _{t-s-2})] = 0 для s > 1.$

АКФ для АРСС(1, 1)-модели. Пусть

$y_{t} = a_{1}y_{t-1} + \varepsilon _{t} + \beta _{1}\varepsilon _{t-1}.$

Используя прием Юла - Уокера, получаем

$My_{t}y_{t} = a_{1}My_{t-1}yt + M\varepsilon _{t}y_{t} + \beta _{1}M\varepsilon _{t-1}y_{t} \Rightarrow \gamma_{0} = a_{1}\gamma_{1} + \sigma ^{2} + \beta _{1}(a_{1} + \beta _{1}) \sigma ^{2},$

(10.34)

$My_{t}y_{t-1} = a_{1}My_{t-1}y_{t-1} + M\varepsilon _{t}y_{t-1} + \beta _{1}M\varepsilon _{t-1} y_{t-1} \Rightarrow \gamma_{1} = a_{1}\gamma_{0} + \beta _{1}\sigma ^{2},$

(10.35)

$My_{t}y_{t-2} = a_{1}My_{t-1}y_{t-2} + M\varepsilon _{t}y_{t-2} + \beta _{1}M\varepsilon _{t-1}y_{t-2} \Rightarrow \gamma_{2} = a_{1}\gamma_{1},$

(10.36)

$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

$My_{t}y_{t-s} = a_{1}My_{t-1}y_{t-s} + M\varepsilon _{t}y_{t-s} + \beta _{1}M\varepsilon _{t-1}y_{t-s} \Rightarrow \gammas = a_{1}\gammas - 1.$

(10.37)

Из (10.34) и (10.35) имеем:

Следовательно,

(10.38)

и далее $\rho _{s} = a_{1}\rho _{s-1}$ для s >= 2 .

Итак, в АРСС(1, 1)-модели величина $\rho _{1}$ зависит от $а_{1}$ и $\beta _{1}.$ Далее $\rho _{s}$ АРСС(1, 1) выглядит так же, как для АР(1), т.е. имеет вид последовательности членов геометрической прогрессии со знаменателем $а_{1}$ . В зависимости от знака $а_{1}$ эта последовательность либо постоянно убывает, либо осцилирует, затухая.

Частные автокорреляционные функции (ЧАКФ). В АР(1)-модели $y_{t}$ и $y_{t-2}$ коррелируют, хотя $y_{t-2}$ явно не входит в уравнение модели $(\rho _{2} = \rho _{1}^{2})$ . Такая косвенная корреляция присуща АКФ любой авторегрессионной модели. Частные автокорреляции между $y_{t}$ и $y_{t-s}$ , напротив, исключают эффекты других запаздываний. Поэтому для АР(1)-модели ЧАКФ между $y_{t}$ и $y_{t-2}$ равны нулю.

Большинство статистических пакетов программ имеют возможности для вычисления ЧАКФ. Некоторые из них основаны на методе, связанном с уравнениями Юла - Уокера,

$Ф_{11} = \rho _{1},$

(10.39)

$Ф_{22} = (\rho _{2} - \rho _{1^{2}}) / (1 - \rho _{1}^{2}),$

(10.40)

и далее

(10.41)

где

$Ф_{sj} = Ф_{s-1,j }- Ф_{ss}Ф_{s-1},_{s-j}, j = 1, 2, 3, \dots , s - 1.$

(10.42)

Используя правило Крамера, из уравнений Юла - Уокера можно для АP()-процесса получить другую формулу для Фkk:

(10.43)

Для s > k , прямой корреляции между $y_{t}$ и $y_{t-s}$ для АР()-процесса нет. Следовательно, Фss = 0 при s > k .

Рассмотрим теперь СС(1)-модель $y_{t} = \varepsilon _{t} + \beta \varepsilon _{t-1}$ . Если $\beta \ne -1$ , то $\varepsilon _{t} = y_{t}/(1 + \beta L)$ . Следовательно, разлагая правую часть равенства в ряд, имеем:

$y_{t} - \beta y_{t-1} + \beta ^{2}y_{t-2} - \beta ^{3}y_{t-3} +\dots = \varepsilon _{t}.$

Поэтому ЧАКФ для СС(1) не обращаются в ноль, начиная с некоторого номера , а убывают со скоростью геометрической прогрессии. Если $\beta < 0$ , то убывание монотонное, а при $\beta > 0$ коэффициенты осцилируют. В более общем случае ЧАКФ стационарных АРСС( p, q )-процессов, начиная с лага , убывают к нулю. Вид убывания зависит от коэффициентов многочлена: