НОУ ИНТУИТ | Введение в эконометрику. Лекция 6: Сглаживание временных рядов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 27 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

6.3. Методы взвешенных скользящих средних

Суть методов взвешенных скользящих средних заключается в том, что значениям исходного ряда приписывается вес $a_{r}$ , зависящий от расстояния до середины интервала сглаживания, т.е. от |r| . Тогда $а - r = a_{r}$ и сглаживание по этим методам является центрированным и симметричным. Для определения весов прибегают к различным подходам.

Рассмотрим первый подход. Пусть весами являются члены разложения бинома ( $0,5 + 0,5)^{2k}, m = 2k + 1$ . Тогда

$a_{r} = C_{2k}^{k-r}(0,5)^{k-r}(0,5)^{2k-(k-r)}, \\ r = 0,1, \dots , k\\ a_{r} = C_{2k}^{k-r}(0,5)^{2k},$

(6.4)

где

$C_{2k}^{k-r}$

-

число сочетаний из

элементов по k - r

элементов.

При этом $a_{-r} = C_{2k}^{k-(-r) }= C_{2k}^{k+r}$ . По свойству сочетаний имеем

Получаем:

при $m = 3 (k = 1) a_{-1} = 1/4, a_{0 }= 1/2, a_{1 }= 1/4;$

при $m = 5 (k = 2) a_{-2} = 1/16, a_{-1} = 1/4, a_{0 }= 3/8, a_{1 }= 1/4, a_{2 }= 1/16;$

при $m = 7 (k = 3) a_{-3} = 1/64, a_{-2} = 3/32, a_{-1} = 15/64, a_{0 }= 5/16, a_{1 }= 15/64, a_{2 }= 3/32, a_{3 }= 1/64$ .

Второй подход заключается в подборе полинома регрессии к данным, содержащимся в интервале сглаживания. При этом свободный член а полинома регрессии выбирается равным расчетному значению ряда Y(t) .

Рассмотрим случай, когда уравнение регрессии квадратичное, т.е. сглаживание происходит на основе уравнения параболы. В этом случае для каждого набора m последовательных членов исходного ряда составляется система m = 2k + 1 уравнений для расчета по методу наименьших квадратов:

$Z(t + i) = a + b_{i} + c_{i}^{2}; I = -k; -k + 1; -1; 0; 1; \dots; k - 1; k,$

(6.5)

где

-

расчетные значения квадратичного уравнения регрессии.

Сглаженное значение ряда Y(t) выбирается по формуле

(6.6)

Запишем систему нормальных уравнений для определения коэффициентов параболы а, b, c

(6.7)

Так как получаем из системы (6.7)

(6.8)

Исключив из первого и третьего уравнений системы (6.8), получаем формулу для расчета коэффициента

(6.9)

При m = 5, k = 2 имеем

$а = -(3/35)X(t - 2) + (128/35)X(t - 1) + (17/35)X(t) +\\ + (12/35)X(t + 1) - (3/35)X(t + 2),$

(6.10)

т.е. $a_{r} = -3/35; 12/35; 17/35; 12/35; 3/35$ .

Аналогично для m = 7, k = 3 и для m = 9, k = 4 соответственно получаем

$a_{r} = -2/21; 3/21; 6/21; 7/21; 6/21; 3/21; -2/21,$

(6.11)

$a_{r} = -21/231; 14/231; 39/231; 54/231; 39/231; 14/231; -21/231.$

(6.12)

Можно легко проверить, что если в качестве сглаживающего многочлена взять прямую, то коэффициенты $a_{r} = 1/m$ , т.е. совпадут с коэффициентами сглаживания с помощью метода простой скользящей средней.

Предположим, дисперсия уровней исходного ряда постоянная и равна $\sigma ^{2}$ , а сами члены ряда $X(t_{i})$ независимы между собой. В этом случае дисперсия сглаженного по квадратичному полиному ряда Y(t) равна

(6.3)

При а при т.е. тенденция к уменьшению дисперсии с ростом m сохраняется.

При сглаживании с помощью скользящей средней нет возможности получить сглаженные значения для первых и последних членов ряда X(t) . В случае сглаживания с помощью полинома регрессии для крайних членов исходного ряда могут быть получены сглаженные значения - значения полинома регрессии в этих точках. Но для этого надо оценить не только свободный член a полинома, но и остальные коэффициенты полинома регрессии (коэффициенты , с в квадратичном случае). Из системы (6.8) получаем