Разные алгоритмы на графах

9.2. Связные компоненты, поиск в глубину и ширину

Наиболее простой случай задачи о кратчайших путях - если все цены равны или . Другими словами, мы интересуемся возможностью попасть из в , но за ценой не постоим. В других терминах: мы имеем ориентированный граф (картинку из точек, некоторые из которых соединены стрелками) и нас интересуют вершины, доступные из данной.

Для этого случая задачи о кратчайших путях приведенные в предыдущем разделе алгоритмы - не наилучшие. В самом деле, более быстрая рекурсивная программа решения этой задачи приведена в "лекции 7" , а нерекурсивная - в "лекции 6" . Сейчас нас интересует такая задача: не просто перечислить все вершины, доступные из данной, но перечислить их в определенном порядке. Два популярных случая - поиск в ширину и в глубину.

Поиск в ширину.

Надо перечислить все вершины ориентированного графа, доступные из данной, в порядке увеличения длины пути от нее. (Тем самым мы решим задачу о кратчайших путях, когда цены ребер равны или .)

9.2.1. Придумать алгоритм решения этой задачи с числом действий не более (число ребер, выходящих из интересующих нас вершин).

Решение. Эта задача рассматривалась в "лекции 6" , задача 6.3.9. Здесь мы приведем подробное решение. Пусть num[i] - количество ребер, выходящих из i, - вершины, куда ведут ребра. Вот программа, приведенная ранее:

procedure Доступные (i: integer);
|   {напечатать все вершины, доступные из i, включая i}
| var  X: подмножество 1..n;
|      P: подмножество 1..n;
|      q, v, w: 1..n;
|      k: integer;
begin
| ...сделать X, P пустыми;
| writeln (i);
| ...добавить i к X, P;
| {(1) P = множество напечатанных вершин; P содержит i;
|  (2) напечатаны только доступные из i вершины;
|  (3) X - подмножество P;
|  (4) все напечатанные вершины, из которых выходит
|      ребро в ненапечатанную вершину, принадлежат X}
| while X непусто do begin
| | ...взять какой-нибудь элемент X в v;
| | for k := 1 to num [v] do begin
| | | w := out [v][k];
| | | if w не принадлежит P then begin
| | | | writeln (w);
| | | | добавить w в P;
| | | | добавить w в X;
| | | end;
| | end;
| end;
end;

Тогда нам было безразлично, какой именно элемент множества X выбирается. Если мы будем считать X очередью (первым пришел - первым ушел), то эта программа напечатает все вершины, доступные из i, в порядке возрастания их расстояния от i (числа ребер на кратчайшем пути из i ). Докажем это.

Обозначим через множество всех вершин, расстояние которых от i (в описанном смысле) равно . Имеет место такое соотношение: