Разные алгоритмы на графах

9.1.7. Известно, что все цены неотрицательны. Найти наименьшую стоимость проезда для всех за время .

Решение. В процессе работы алгоритма некоторые города будут выделенными (в начале - только город 1, в конце - все). При этом:

• для каждого выделенного города i хранится наименьшая стоимость пути ; при этом известно, что минимум достигается на пути, проходящем только через выделенные города;
• для каждого невыделенного города i хранится наименьшая стоимость пути , в котором в качестве промежуточных используются только выделенные города.

Множество выделенных городов расширяется на основании следующего замечания: если среди всех невыделенных городов взять тот, для которого хранимое число минимально, то это число является истинной наименьшей стоимостью. В самом деле, пусть есть более короткий путь. Рассмотрим первый невыделенный город на этом пути - уже до него путь длиннее! (Здесь существенна неотрицательность цен.)

Добавив выбранный город к выделенным, мы должны скорректировать информацию, хранимую для невыделенных городов. При этом достаточно учесть лишь пути, в которых новый город является последним пунктом пересадки, а это легко сделать, так как минимальную стоимость проезда в новый город мы уже знаем.

При самом бесхитростном способе хранения множества выделенных городов (в булевском векторе) добавление одного города к числу выделенных требует времени .

Этот алгоритм называют алгоритмом Дейкстры.

9.1.8. Имеется городов, соединенных дорогами (с односторонним движением). Для любых городов известен максимальный вес груза, который можно везти из в (грузоподъемность дороги). Найти за время для всех городов максимальный вес груза, который в них можно привезти из столицы.

Указание. Действовать аналогично алгоритму Дейкстры, заменив сумму на максимум.

Отыскание кратчайшего пути имеет естественную интерпретацию в терминах матриц. Пусть - матрица цен одной авиакомпании, а - матрица цен другой. Пусть мы хотим лететь с одной пересадкой, причем сначала самолетом компании , а затем - компании . Сколько нам придется заплатить, чтобы попасть из города i в город j?

9.1.9. Доказать, что эта матрица вычисляется по обычной формуле для произведения матриц, только вместо суммы надо брать минимум, а вместо умножения - сумму.

9.1.10. Доказать, что таким образом определенное произведение матриц ассоциативно.

9.1.11. Доказать, что задача о кратчайших путях эквивалентна вычислению для матрицы цен : в последовательности все элементы, начиная с некоторого, равны искомой матрице стоимостей кратчайших путей. (Если нет отрицательных циклов!)

9.1.12. Начиная с какого элемента можно гарантировать равенство в предыдущей задаче?

Обычное (не модифицированное) умножение матриц тоже может оказаться полезным, только матрицы должны быть другие. Пусть есть не все рейсы (как раньше), а только некоторые, a[i][j] равно 1, если рейс есть, и 0, если рейса нет. Возведем матрицу a (обычным образом) в степень k и посмотрим на ее ( i - j )-ый элемент.

9.1.13. Чему он равен?

Ответ. Числу различных способов попасть из i в j за k рейсов (с k-1 пересадками).

При описании кратчайших путей случай, когда есть не все рейсы, можно свести к исходному, введя фиктивные рейсы с бесконечно большой (или достаточно большой) стоимостью. Тем не менее возникает такой вопрос. Число реальных рейсов может быть существенно меньше , поэтому интересны алгоритмы, которые работают эффективно в такой ситуации. Исходные данные естественно представлять тогда в такой форме: для каждого города известно число выходящих из него рейсов, их пункты назначения и цены.

9.1.14. Доказать, что алгоритм Дейкстры можно модифицировать так, чтобы для городов и рейсов (всего) он требовал не более операций.

Указание. Что надо сделать на каждом шаге? Выбрать невыделенный город с минимальной стоимостью и скорректировать цены для всех городов, в которые из него есть маршруты. Если бы кто-то сообщал нам, для какого города стоимость минимальна, то хватило бы действий. А поддержание сведений о том, какой элемент в массиве минимален (см. задачу из "пункта 6.4." ) обходится еще в множитель .