НОУ ИНТУИТ | Исследование операций и модели экономического поведения. Лекция 20: Минимаксные критерии для задач с неизвестным априорным распределением

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Проверка по отношению правдоподобия в случае трех решений

Во многих задачах выбора решений в условиях неопределенности окончательному выбору могут предшествовать несколько стадий оценки текущего состояния природы. При этом на последующих стадиях применяются более точные (и обычно более дорогие) схемы проведения испытаний.

Ограничим наше рассмотрение случаем, когда возможны лишь две такие стадии. При этом начальная стадия включает проведение некоторого испытания и принятие (на основании полученных результатов) одного из трех решений. Первые два решения соответствуют выбору одной из двух простых гипотез. Третий вариант предполагает проведение дополнительных испытаний, завершающихся окончательным выбором гипотезы. Примем, что реализация третьего варианта передается другому исполнителю. Ожидаемые потери для этого случая будем считать известными.

Таким образом, мы рассматриваем операцию, в которой m=2, {n = 3} и матрица потерь задана коэффициентами из табл. 4.5.

Таблица 4.5.
Матрица потерь	Решения статистика
Состояния природы	a=1	a=2	a=3
$\omega = 1$	0	w₁₂	w₁₃
$\omega = 2$	w₂₁	0	w₂₃

При этом, согласно (17.9)-(17.11) и (17.16), значения апостериорного риска $\rho(\zeta_z, a)$ , соответствующие решению a=d(z), определяются следующими формулами:

$\rho(\xi_z, 1) = \frac{(1 - \zeta) w_{21}p_2(z)}{p(z)},$

( 19.10)

$\rho(\xi_z,2) = \frac{\zeta w_{12}p_1(z)}{p(z)},$

( 19.11)

$\rho(\xi_z,3) = \frac{\zeta w_{13} p_1(z) + (1- \zeta)w_{23} p_2(z)}{p(z)},$

( 19.12)

где p(z) из (17.11) и $\xi$ из (18.2). Далее, в соответствии с (17.20), байесовское решение $a_z = d_\xi(z)$ определяется условиями:

$\rho(\xi_z,1) < \rho(\xi_z,2),\ \rho(\xi_z,1) < \rho(\xi_z,3) & \to a_z = 1,\\ \rho(\xi_z,2) \le \rho(\xi_z,1),\ \rho(\xi_z,2) < \rho(\xi_z,3) & \to a_z = 2,\\ \rho(\xi_z,3) \le \rho(\xi_z,1),\ \rho(\xi_z,3) < \rho(\xi_z,2) & \to a_z = 3, }$

Эти условия (после подстановки в них правых частей из выражений (9.10)-(9.12)) преобразуются к виду:

$R(z) < c_1,\ R(z) < c_3 \to a_z = 1,$

( 19.13)

$R(z) \ge c_3,\ R(z) > c_2 \to a_z =2,$

( 19.14)

$c_1 \le R(z) \le c_2 \to a_z = 3,$

где

$c_1 = \frac{\zeta w_{13}}{(1 - \zeta)(w_{21} - w_{23})},$

( 19.15)

$c_2 = \frac{\zeta(w_{12} - w_{13})}{(1 - \zeta)w_{23}},$

( 19.16)

$c_3 = \frac{\zeta w_{12}}{(1- \zeta)w_{21}}.$

и символ R(z) соответствует отношению правдоподобия, т.е.

$R(z) = \frac{p_2(z)}{p_1(z)}.$

Заметим, что применимость третьего решения предполагает выполнение условия $c_1\le c_2$ , которое эквивалентно следующему неравенству для коэффициентов матрицы потерь:

$w_{12} w_{21} \ge w_{13} w_{21} + w_{12} w_{23}.$

( 19.17)

Условимся, что неравенство (19.17) является справедливым.

Тогда неравенства c₁<c₃<c₂ также являются справедливыми, что устанавливается непосредственной проверкой. Поэтому в условиях (19.13) достаточно выполнения лишь первого неравенства, а в условиях (19.14) - второго неравенства.

Таким образом, в рассмотренном случае ( m=2, n=3 ) байесовский критерий $d_\xi$ сводится к следующей модификации проверки по отношению правдоподобия: