Проверка простой гипотезы относительно простой альтернативы

Значимость и мощность критерия

Рассмотрим некоторый критерий , заданный критической областью . Ошибки первого рода, порождаемые этим критерием, соответствуют отвержению правильной нуль-гипотезы. Следовательно, такие ошибки происходят при попадании выборочной точки z, являющейся реализацией случайной величины с распределением p₂(z), в критическую область Q₁ (см. табл. 4.3). Вероятность таких ошибок

называется значимостью (или уровнем значимости критерия d.

Ошибка второго рода соответствует выборочным точкам z, порожденным случайной величиной с распределением p₁(z) и попадающим в дополнение критической области, т.е. во множество Q₂ из (18.5). Поэтому вероятность таких ошибок есть

При этом величина характеризующая вероятность отвержения неверной испытуемой гипотезы, называется мощностью критерия.

Отметим, что величины (18.06) и (18.8), характеризующие (соответственно) значимость и мощность критерия, определяются суммированием распределений p₂(z) и p₁(z) по одной и той же критической области Q₁. Это обстоятельство ограничивает возможность формирования критической области, обеспечивающей одновременно высокую (т.е. близкую к нулевому значению) значимость критерия и высокую (т.е. близкую к единичному значению) мощность критерия.

В качестве иллюстрации на рис. 4.3 приведены функции правдоподобия p₁(z), p₂(z) и соответствующие им кривые мощности и значимости для случая . Параметр z задает критическую область

по которой осуществляется суммирование в (18.6) и (18.8). На рисунке отмечена точка z, которой соответствует единичное значение отношения правдоподобия, и указана область Q₁ из (18.9), определяемая этой точкой.