Проверка простой гипотезы относительно простой альтернативы

Функция байесовского риска

Введем обозначение c_i для возможных в модели испытаний (17.7), (17.8) значений отношения правдоподобия:

Дополним эти значения величинами

и условимся, что нумерация чисел (18.10), (18.11) выполнена в порядке возрастания их значений, т.е.

Поскольку при такой нумерации из включения вытекает выполнение неравенств

то проверке по отношению правдоподобия с константой сравнения c соответствует критическая область Q₁(i), содержащая первые i исходов из множества (17.7). Т.е. Таким образом, класс всех проверок по отношению правдоподобия (и, следовательно, класс всех байесовских решающих функций) определяется набором, содержащим N+1 критическую область:

Теперь для конкретного значения w, определяющего функцию потерь из (18.1), вычислим вероятности из (18.2), при которых величина из (18.3) совпадает с числом c_i из (18.10), т.е.

Отсюда причем, в силу (18.11), (18.12),

Таким образом, интервал [0,1) возможных значений априорной вероятности появления первого состояния природы разбивается значениями из набора (18.15), (18.16) на N+1 подынтервал , . При этом из включения вытекает справедливость неравенств

и, следовательно, критическая область байесовского критерия совпадает с критической областью Q₁(i) из (18.13), т.е.

Согласно (18.1), потери статистика происходят лишь в случае ошибочных решений. Следовательно, математическое ожидание потерь, соответствующих критерию d, характеризуемому критической областью Q₁ и вероятностями ошибок (18.6), (18.7), определяется величиной

где из (18.2).

Согласно (18.6) и (18.7), критической области (18.17) соответствуют вероятности ошибок первого и второго рода, представляющие собой следующие суммы:

Теперь из (18.18)-(18.20) следует, что величина соответствует ожидаемым потерям для байесовского критерия.

Согласно (18.21), байесовский риск является кусочно-линейной функцией параметра , поскольку значения коэффициентов и из (18.19) и (18.20) остаются неизменными при вариации в подынтервале . Непосредственной проверкой можно убедиться, что функция является непрерывной, поскольку линейные дуги (18.21) пересекаются в точках , . Действительно, положим

и подставим в это выражение значения вероятностей ошибок из (18.19), (18.20). В результате получим равенство совпадающее, согласно (18.10), с определением (18.15)^{2Ниже мы установим, что функция является вогнутой, из чего автоматически следует ее непрерывность. Тем не менее, небольшое упражнение по непосредственной проверке непрерывности риска представляется уместным с методической точки зрения.}. Отметим также, что из (18.14) и (18.19)-(18.21) можно получить оценки Продолжим изучение свойств байесовского риска.