НОУ ИНТУИТ | Графы и их применение. Лекция 16: Теория трансверсалей

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.07.2006 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 31 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

Приложение теории трансверсалей

Используются понятия трансверсалей, на основании чего доказывается теорема о модификации латинского прямоугольника. Вводятся определения (0,1) -матрицы, формулируются и доказываются теоремы Кенига-Эгервари и об общей трансверсали.

Теорема Пусть латинский $m\times n$ -прямоугольник, причем, m < n ; тогда можно расширить до латинского квадрата добавлением n-m новых строк.

Доказательство Докажем, что можно расширить до латинского $(m+1)\times n$ -прямоугольника; повторяя эту процедуру, мы придем к латинскому квадрату.

Пусть $E=\{1,2\dts n\}$ и $\varphi =(S_{1}\dts S_{n})$ , где через $S_{i}$ обозначено множество, состоящее из тех элементов множества , которые не встречаются в -м столбце матрицы . Если мы сможем доказать, что $\varphi$ имеет трансверсаль, то тем самым мы докажем теорему, поскольку элементы этой трансверсали и образуют дополнительную строку. По теореме Холла достаточно доказать, что объединение любых множеств $S_{i}$ содержит по меньшей мере различных элементов. А это очевидно, ибо любое такое объединение содержит $(n-m)\times k$ элементов (включая повторения), значит, по крайней мере, один из них повторялся бы более чем n-m раз, что невозможно.

Определение (0,1) матрицы или матрицы инциденций. Другой подход к изучению трансверсалей семейства $\varphi =(S_{1} \dts S_{m} )$ непустых подмножеств множества $E=\{ e_{1} \dts e_{n} \}$ состоит в исследовании $(m \times n)$ -матрицы $A=(a_{ij})$ , в которой $a_{ij} =1$ , если $e_{j} \in S_{i}$ , и $a_{ij}=0$ в противном случае. (Любую такую матрицу, все элементы которой равны или , мы называем (0,1) -матрицей) этого семейства.

Определение словарного ранга. Назовем словарным рангом матрицы наибольшее число единиц в , никакие две из которых не лежат в одной и той же строке или в одном и том же столбце. Тогда $\varphi$ имеет трансверсаль в том и только в том случае, если словарный ранг матрицы равен . Более того, словарный ранг матрицы равен в точности числу элементов частичной трансверсали, обладающей наибольшей возможной мощностью. В качестве второго приложения теоремы Холла рассмотрим известный результат о (0,1) -матрицах, называемой теоремой Кенига-Эгервари.

Теорема (Кенига-Эгервари, 1931) Словарный ранг (0,1) -матрицы равен минимальному числу $\mu$ строк и столбцов, которые в совокупности содержат все единицы из .

Замечание В качестве иллюстрации этой теоремы рассмотрим матрицу

$\begin{aligned} & \,\,\,\,\,\begin{matrix} e_{1}\,\, & e_{2}\,\, & e_{3}\,\, & e_{4}\,\, & e_{5}\,\, & e_{6} \end{matrix}\\ \begin{matrix} S_1 \\ S_2 \\ S_3 \\ S_4 \\ S_5 \\ \end{matrix} & \left( \begin{matrix} 1\phantom{1} & 1\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1}\\ 1\phantom{1} & 1 & 0\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1}\\ 0\phantom{1} & 1\phantom{1} & 1\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1}\\ 0\phantom{1} & 1\phantom{1} & 1\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1}\\ 1\phantom{1} & 0\phantom{1} & 0\phantom{1} & 1\phantom{1} & 1\phantom{1} & 1\phantom{1} \end{matrix} \right)\!, \end{aligned}$