Гамильтоновы графы

Теорема Дирака

Поиск необходимого и достаточного условия для того, чтобы граф был гамильтоновым, стал одной из главных нерешенных задач теории графов! О гамильтоновых графах, в сущности, известно очень мало. Большинство известных теорем имеет вид "если граф имеет достаточное число ребер, то граф является гамильтоновым графом". Вероятно, самой знаменитой из этих теорем является следующая теорема, принадлежащая Г.Э.Дираку и потому известная как теорема Дирака.

Теорема (Дирак, 1952) Если в простом графе с вершинами для любой вершины , то граф является гамильтоновым.

Замечание Существует несколько доказательств этой широко известной теоремы, здесь мы приводим доказательство Д.Дж.Ньюмана.

Доказательство Добавим к нашему графу новых вершин, соединяя каждую из них с каждой вершиной из . Будем предполагать, что — наименьшее число вершин, необходимых для того, чтобы полученный граф стал гамильтоновым. Затем, считая, что , придем к противоречию.

Пусть гамильтонов цикл в графе , где — вершины из , а — одна из новых вершин. Тогда не является смежной с , так как в противном случае мы могли бы не использовать вершину , что противоречит минимальности . Более того, вершина, скажем, , смежная вершине , не может непосредственно следовать за вершиной , смежной вершине , потому что тогда мы могли бы заменить на , перевернув часть цикла, заключенную между и . Отсюда следует, что число вершин графа , не являющихся смежными с , не меньше числа вершин, смежных с (то есть равно, по меньшей мере, ); с другой стороны, очевидно, что число вершин графа , смежных с , тоже равно, по меньшей мере, . А так как ни одна вершина графа не может быть одновременно смежной и не смежной вершине , то общее число вершин графа , равное , не меньше, чем . Это и есть искомое противоречие.