НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 8: Разложение многочленов на неприводимые множители по модулю p. Лемма Гензеля

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Лемма Гензеля

Лемма Гензеля в своей классической формулировке, принятой в алгебре и теории чисел, утверждает, что разложение полинома на взаимно простые сомножители, выполненное по модулю простого числа , можно продолжить до разложения в кольце - адических чисел. Доказательство ее можно найти, например, в монографии Ван дер Вардена [4 с. 549]. Основу доказательства составляет итерационный процесс перехода от сравнения по модулю некоторой степени числа к сравнению по модулю большей степени . Показывается, что этот переход можно выполнить за конечное число шагов, вопросам сложности в алгебраическом доказательстве уделяется мало внимания. Нас же в первую очередь интересует алгоритм этого перехода с учетом возможности его практической реализации и оценкой его времени работы.

Начнем с изложения леммы Гензеля в простейшем варианте: линейный подъем для двух сомножителей.

Предположим, что $f(x)\in \mathbb Z[x]$ и по модулю некоторой степени q=p^k простого числа получено разложение f(x) на взаимно простые множители: $f\equiv g_kh_k \pmod q$ , где $g_k,h_k \in \mathbb Z[x]$ . Мы хотим продолжить это сравнение до сравнения по модулю $p^{k+1}$ .

На первом шаге мы должны получить разложение $f\equiv g_1 h_1 \pmod p$ , что достигается применением алгоритма Берлекэмпа. Предположим, что мы нашли также полиномы $\tilde g$ и $\tilde h$ , такие, что

$\begin{equation} 1\equiv g_1\tilde g+ h_1 \tilde h \pmod p \end{equation}$

( 18.1)

Эти полиномы можно найти, применяя в кольце F_p[x] расширенный алгоритм Евклида к полиномам h_1 и g_1 . Полиномы $\tilde g$ и $\tilde h$ определены неоднозначно, однозначность получается, если мы потребуем, чтобы их степени были ниже степеней полиномов h_1 и g_1 соответственно. В частности, полиномы $\tilde g$ и $\tilde h$ можно заменить их остатками от деления на h_1 и g_1 в кольце F_p[x]

Более того, без потери общности мы можем предполагать, что старшие коэффициенты полиномов h_k равны , а старшие коэффициенты полиномов g_k совпадают со старшим коэффициентом полинома . В дальнейшем мы считаем это условие выполненным, хотя оно может противоречить выбору систем представителей по модулю p^k .

Полиномы $g_{k+1},h_{k+1}\in \mathbb Z[x]$ мы будем искать в виде $g_{k+1}= g_k+\hat g_k p^k$ , $h_{k+1}=h_k+\hat h_k p^k$ . Сравнения

$\begin{align*} f&\equiv g_{k+1}h_{k+1} \\ &\equiv (g_k+\hat g_k p^k)(h_k+\hat h_k p^k) \\ &\equiv g_k h_k+(\hat g_k h_k+\hat h_k g_k)p^k+\hat g_k\hat h_k p^{2k} \pmod{p^{k+1}} \\ &\equiv g_k h_k+(\hat g_k h_k+\hat h_k g_k)p^k \pmod{p^{k+1}} \end{align*}$

эквивалентны сравнению

$f-g_k h_k\equiv (\hat g_k h_k+\hat h_k g_k)p^k \pmod{p^{k+1}}.$

Обе части этого сравнения делятся на p^k . После деления получаем сравнение $\frac{f-g_k h_k}{p^k}\equiv (\hat g_k h_k+\hat h_k g_k) \pmod p$ . В правой части этого сравнения мы можем заменить g_k и h_k на g_1 и h_1 соответственно. Обозначим $d_k=\frac{f-g_k h_k}{p^k}$ . Домножим сравнение (18.1) на d_k и приравняем коэффициенты при g_1 и h_1 . Получим $\hat g_k \equiv d_k \tilde h \pmod{p,g_1}$ , $\hat h_k \equiv d_k \tilde g \pmod{p,h_1}$ .

Итак, алгоритм линейного подъема Гензеля можно записать в следующем виде.

А30. АЛГОРИТМ (линейного подъема для двух сомножителей).

$\begin{equation}\\ \text{Дано:\quad$f(x)$, $g_1(x)$,$h_1(x)$, $\tilde g(x)$, $\tilde h(x)\in \mathbb Z[x]$,}\\ \text{\qquad $p \in \mathbb Z$ - простое число, }\\ \text{\qquad $f(x)\equiv g_1(x)h_1(x) \pmod p$,} \\ \text{\qquad $1\equiv g_1(x)\tilde g(x) + h_1(x)\tilde h(x) \pmod p$, $k\in \N$ }\\ \text{Надо: \qquad $g$ и $h$ такие, что $f(x)\equiv g(x)h(x) \pmod{p^k}$} \\ \text{Начало}\\ \text{$g:=g_1$}\\ \text{$h:=h_1$}\\ \text{цикл для $t$ от $1$ до $k-1$}\\ \text{\qquad $d:=\dfrac{f-g\cdot h}{p^t} \pmod p$}\\ \text{\qquad $g_c:= d\cdot \tilde h \pmod{p, g_1}$}\\ \text{\qquad $h_c:= d\cdot \tilde g \pmod{p, h_1}$}\\ \text{\qquad $g:=g+g_c\cdot p^t$}\\ \text{\qquad $h:=h+h_c\cdot p^t$}\\ \text{конец цикла}\\ \text{Конец} \end{equation}$

Отметим, что для применения этого алгоритма для произвольного числа сомножителей нужно получить соответствующее представление единицы:

$1\equiv\sum_i\biggl(\prod_{j\ne i}g[j]\biggr)\tilde g[i] \pmod p,$

в котором $\deg\tilde g[i] <\deg g[i]$ (индекс в квадратных скобках означает номер сомножителя). Один из способов получения такого представления заключается в поочередном выделении одного из делителей полинома

и последовательном применении расширенного алгоритма Евклида. Другой способ — искать полиномы $\tilde g[i] \pmod p$ в кольце F_p[x]

методом неопределенных коэффициентов. Относительно этих коэффициентов получается система линейных уравнений порядка $n=\deg f$ , условие невырожденности которой совпадает с условием, что полиномы g[i]

не имеют общих делителей. (Нетрудно заметить, что нам нужно решить задачу, эквивалентную разложению дроби $\frac1{\bigl(\prod\limits_ig[i](x)\bigr)} \pmod p$ в сумму простейших.)

Снова предполагаем, что старший коэффициент полинома g[1] совпадает со старшим коэффициентом полинома , а старшие коэффициенты остальных сомножителей g[i] равны .

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Разложение многочленов на неприводимые множители по модулю p. Лемма Гензеля

Лемма Гензеля

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Разложение многочленов на неприводимые множители по модулю p. Лемма Гензеля

Лемма Гензеля

Вопросы и ответы

Студенты