НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 8: Разложение многочленов на неприводимые множители по модулю p. Лемма Гензеля

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Пример вычисления матрицы Q и нахождения ее нуль- пространства.

Данный пример взят из монографии Кнута [ 9 ] .

Пусть

$u(x) = x^8+ x^6+10x^4+ 10x^3+8x^2+2x+8, \quad p = 13.$

Непосредственными вычислениями проверяется, что

Значит,

свободен от квадратов. Далее, $x^0\equiv 1\pmod{u(x)}$ , следовательно, 1-я строка матрицы $\EuScript Q$ равна $(1, 0,\dots, 0)$ . Вычислим вторую строку, т.е. $x^{13}\pmod{u(x)}$ . Ниже приводятся вычисления.

$\begin{matrix} k&a_{k,7}&a_{k,6}&a_{k,5}&a_{k,4}&a_{k,3}&a_{k,2}&a_{k,1}&a_{k,0} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 0 & 12 & 0 & 3 & 3 & 5 & 11 & 5 \\ 9 & 12 & 0 & 3 & 3 & 5 & 11 & 5 & 0 \\ 10 & 0 & 4 & 3 & 2 & 8 & 0 & 2 & 8 \\ 11 & 4 & 3 & 2 & 8 & 0 & 2 & 8 & 0 \\ 12 & 3 & 11 & 8 & 12 & 1 & 2 & 5 & 7 \\ 13 & 11 & 5 & 12 & 10 & 11 & 7 & 1 & 2 \end{matrix}$

Получили вторую строку матрицы $\EuScript Q$ , записанную в обратном порядке. Продолжая подобным образом, получим остальные строки матрицы $\EuScript Q$ :

$\EuScript Q=\begin{bmatrix} 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 2& 1& 7& 11& 10& 12& 5& 11 \\ 3& 6& 4& 3& 0& 4& 7& 2 \\ 4& 3& 6& 5& 1& 6& 2& 3 \\ 2& 11& 8& 8& 3& 1& 3& 11 \\ 6& 11& 8& 6& 2& 7& 10& 9 \\ 5& 11& 7& 10& 0& 11& 7& 12 \\ 3& 3& 12& 5& 0& 11& 9& 12 \end{bmatrix}$

Вычитая единичную матрицу, получим

$\EuScript Q-\EuScript I=\begin{bmatrix} 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 2& 0& 7& 11& 10& 12& 5& 11 \\ 3& 6& 3& 3& 0& 4& 7& 2 \\ 4& 3& 6& 4& 1& 6& 2& 3 \\ 2& 11& 8& 8& 2& 1& 3& 11 \\ 6& 11& 8& 6& 2& 6& 10& 9 \\ 5& 11& 7& 10& 0& 11& 6& 12 \\ 3& 3& 12& 5& 0& 11& 9& 11 \end{bmatrix}$

Переходим к нахождению нуль-пространства.

k=0 . Первая строка нулевая, таким образом, получаем собственный вектор $v[1] = (1, 0,\dots, 0)$ .

k=1 . В качестве допустимого значения можно взять любое $j\ge 1$ (напомним, что нумерация столбцов начинается с 0). Удобно взять j=5 , т.к. $a_{15}= 12\equiv -1 \pmod{13}$ . Прибавляя к -му столбцу -ый столбец, умноженный на $a_{1j}$ , j=0, 2, 3,
4, 6, 7 , получим

$\vad \begin{bmatrix} 0& 0& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0& 0 & 0 & 0 &12 & 0 & 0 \\ 11& 6& 5 & 8 & 1 & 4 & 1 & 7 \\ 3& 3& 9 & 5 & 9 & 6 & 6 & 4 \\ 4& 11& 2 & 6 &12 & 1 & 8 & 9 \\ 5& 11& 11 & 7 &10 & 6 & 1 &10 \\ 1& 11& 6 & 1 & 6 &11 & 9 & 3 \\ 12& 3& 11 & 9 & 6 &11 &12 & 2 \end{bmatrix}$

Продолжая таким же образом, получим

k=2 , j=4

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0& 0& 0& 0& 0& 0 \\ 0 & 0 & 0& 0& 0& 12& 0& 0 \\ 0 & 0 & 0& 0& 12& 0& 0& 0 \\ 8 & 1 & 3& 11& 4& 9& 10& 6 \\ 2 & 4 & 7& 1& 1& 5& 9& 3 \\ 12 & 3 & 0& 5& 3& 5& 4& 5 \\ 0 & 1 & 2& 5& 7& 0& 3& 0 \\ 11 & 6 & 7& 0& 7& 0& 6& 12 \end{bmatrix}$

k=3 , j=1

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 9 & 9 & 8 & 9 & 11 & 8 & 8 & 5 \\ 1 & 10 & 4 & 11 & 4 & 4 & 0 & 0 \\ 5 & 12 & 12 & 7 & 3 & 4 & 6 & 7 \\ 2 & 7 & 2 & 12 & 9 & 11 & 11 & 2 \end{bmatrix}$

k=4 , j=7

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 \\ 1 & 10 & 4 & 11 & 4 & 4 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 6 & 10 & 11 & 11 & 0 & 9 \\ 1 & 6 & 4 & 11 & 2 & 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$

k=5 , j=0

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 12 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 12 \\ 12 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 0 & 9 \\ 12 & 9 & 0 & 0 & 11 & 9 & 0 & 10 \end{bmatrix}$

Таким образом, матрица приведена к ступенчатому виду. Для нахождения собственных векторов в качестве свободных параметров выбираем последние две координаты. При этом получаются векторы v[2] = (0, 5, 5, 0, 9, 5, 1, 0) и v[3] = (0, 9, 11, 9, 10, 12, 0, 1) .