НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 4: Базисы Гребнера

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

10.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мы говорим, что многочлен инволютивно редуцируется к многочлену с помощью многочлена по моному m и пишем, опуская упоминание о мономе , $f\xrightarrow[\text{inv}h]{}g$ , если редуцируется к в обычном смысле, и $\textrm{lm}(h)|_Lm$ . Естественным образом определяется отношение $\xrightarrow[\text{inv }G]{}$ для произвольного множества многочленов и его транзитивное $\smash[b]{\xrightarrow[\text{inv }G]+}$ и рефлексивно-транзитивное $\xrightarrow[\text{inv }G]*$ замыкания.

Если задано отношение редукции, то определена нормальная форма, которая в данном случае называется инволютивной.

Немультипликативным продолжением многочлена будем называть его произведение на некоторую немультипликативную для его старшего монома переменную.

10.8. ПРИМЕР. Пусть $U\subset M$ - конечное подмножество. Для каждого $1\le i\le n$ разделим множество на группы, помеченные неотрицательными целыми числами $d_1,\ldots,d_i$ :

$[d_1,\ldots,d_i]=\{u\in U\sep d_j=\deg_j(u),\;1\le j\le i\}.$

Переменная x_i

мультипликативна для $u\in U$ , если i=1

и $\deg_1(u)= \max\{\deg_1(v)\sep v\in U\}$ , или i>1

, $u\in[d_1,\ldots,d_{i-1}]$ и $\deg_i(u)= \max\{\deg_i(v)\sep v\in[d_1,\ldots,d_{i-1}]\}$ . (Здесь $\deg_j$ обозначает степень по переменной x_j

.)

10.9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть $R=K[x_1,\dots,x_m]$ - кольцо многочленов от переменных $X=\{x_1,\dots,x_m\}$ , - идеал кольца , $G \subset I$ - конечное множество и |_L - инволютивное деление на множестве мономов . Множество называется инволютивным базисом идеала , если для любого ненулевого элемента $f\in I$ имеется инволютивное представление

$\begin{equation} f=\sum_{i=1}^r c_i\theta_ig_i,\quad 0\ne c_i\in K,\ \theta_i \in T(M(\textrm{lm}(g_i))),\ g_i \in G.\label{e:inv8} % \theta_i\u_{g_i}>\theta_{i+1}\u_{g_{i+1}},\notag \end{equation}$

( 10.1)

10.10. ТЕОРЕМА. Пусть $R=K[x_1,\dots,x_m]$ - кольцо многочленов от переменных $X=\{x_1,\dots,x_m\}$ , - идеал кольца , $G \subset I$ - конечное множество и |_L - инволютивное деление на множестве мономов . Предположим, что множество нормализовано таким образом, что $\textrm{Hcoeff}(g_i) = 1$ для всех $g_i\in G$ . Тогда эквивалентны следующие условия:

является инволютивным базисом идеала ;
$\textbf{u}_G$ инволютивно порождает $\textbf{u}_I$ ;
для любого $f \in I$ имеет место $f\xrightarrow[\text{inv }G]* 0$ ;
если $f-f'\in I$ и инволютивно нередуцируемы, то ;
если $f\in I$ и инволютивно нередуцируем, то . Следующие условия являются необходимыми для выполнения предыдущих, и если множество порождает , то они являются и достаточными:
Если $f\in G$ и $x_i\in NM(\textrm{lm}(f))$ , то допускает инволютивное представление;
$x_if\xrightarrow[\text{inv }G]*0$ для любых $f\in G$ и $x_i\in NM(\textrm{lm}(f))$ .

Доказательство оставляется читателю в качестве упражнения.

Инволютивный базис может быть легко построен, если мы знаем авторедуцированный базис Гребнера соответствующего идеала и инволютивное деление. Это построение сводится к домножению элементов базиса Гребнера на немультипликативные переменные.

Имея инволютивный базис $G=\{g_i\}$ и инволютивное деление, можно построить алгоритм нормальной формы следующим образом: для каждого многочлена g_i образуем множество его инволютивных кратных $\EuScript B_i$ ; множество $\bigcup_i \EuScript B_i$ является базисом линейного пространства , причем любой моном может присутствовать не более, чем в одном элементе этого базиса. Для любого многочлена мы можем исключать те его слагаемые, которые присутствуют в качестве старших мономов в множестве инволютивных кратных. Легко показать, что нередуцируемый многочлен, получающийся после таких исключений, не зависит от порядка этих исключений. Однако, чтобы избежать повторных исключений одного и того же монома (сразными коэффициентами), естественно проводить эти действия в порядке убывания мономов. Таким образом мы получаем алгоритм нормальной формы.

Естественно, не всякий алгоритм нормальной формы может быть получен таким образом. Возникает задача описания тех алгоритмов нормальной формы, которые определяются с помощью инволютивных базисов.

10.11. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Если множество старших мономов многочленов из идеала разбивается на непересекающиеся конусы так, что элементы одного конуса редуцируются по одному многочлену из базиса, то соответствующее инволютивное деление выглядит следующим образом: для вершины конуса мультипликативными являются переменные, соответствующие образующим, а внутри конуса деление задается произвольным образом.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Формально указанное инволютивное деление $\mid_L$ задается так: пусть $\mid_{l_s}$ - произвольное инволютивное деление, соответствующее конусу C_s с вершиной в мономе . Положим

$\forall u,v\in C_s\;u\l v\;\Leftrightarrow\; u\l_sv.$

Если же $\not\exists s:\; u,v\in C_s$ , то положим $u\not\l v$ . Положим $\forall u\;1\l u$ . Аксиомы инволютивного деления выполнены:

$u|_L v\;\Rightarrow\;\exists s:\; u\in C_s,\,u|_{L_s}v\; \Rightarrow\;u|v$ ;
- по определению ;
$u|_{L}w ,v|_L w\;\Rightarrow\;\exists s_1,s_2:\;u,w\in C_{s_1},\, v,w\in C_{s_2}$ , но тогда $C_{s_1}\cap C_{s_2}\ne\emptyset$ , значит, . Отсюда $u|_{L_s} w,\,v\l_s w\;\Rightarrow\; u|_{L_s}w\lor v|{L_s}u\;\Rightarrow\;u|_{L} v\lor v|_L u$ ;
$u|_L uvw\;\Rightarrow\;\exists s:\; u|_{L_s}uvw\; \Rightarrow\;u|_{L_s}uv\land u|_{L_s}uw\;\Rightarrow\; u|_{L} uv\land u|_L uw\;\Rightarrow\; \exists s:\;u,uv,uw\in C_s,\,u|_{L_s} uv\land u|_{L_s} uw\;\Rightarrow\; u|_{L_s} uvw\;\Rightarrow\;u|_l uvw$
$u|_L v,\,v|_L w\;\Rightarrow\;\exists s:\;u,v,w\in C_s,\, u|_{L_s}v,\,v|_{L_s}w\;\Rightarrow\;u|_{L_s} w\;\Rightarrow\;u|_{L}w$ .

По определению $\l$ , любой старший моном многочлена идеала инволютивно редуцируется к вершине соответствующего конуса, кроме того, инволютивная нормальная форма всегда единственна. Алгоритм нормальной формы, заданный этими конусами, устроен так же. Поэтому соответствие алгоритма нормальной формы и инволютивного деления установлено.

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Базисы Гребнера

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Базисы Гребнера

Вопросы и ответы

Студенты